不等式の証明(微分)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「$\geqq 0$ を示せ」と言われたら、左辺を関数 $f(x)$ とみて、最小値が $0$ 以上であることを示せばよい。すべての $x$ で成り立つことと、いちばん低い所で成り立つことは同じだからだ。

$f^{\prime }$ で増減を調べ、$x\geqq 0$ での最小値を特定する。

今回は最小値がちょうど $0$ になる。「余裕をもって正」ではなく「すれすれで $0$」— 等号が成り立つ瞬間($x=1$)がある不等式だと分かる。

① $f(x)$ とおいて微分する。 $f(x)=2x^3-3x^2+1$。

$$f^{\prime }(x)=6x^2-6x=6x(x-1)$$

② $x\geqq 0$ で増減を調べる。 $f^{\prime }=6x(x-1)$ は、$0<x<1$ で負、$x>1$ で正。よって $x=1$ で最小。

③ 最小値を求める。

$$f(1)=2-3+1=0$$

$x=0$ では $f(0)=1$。$x\geqq 0$ での最小値は $x=1$ のときの $0$。

④ 結論。 $x\geqq 0$ での最小値が $0$ だから、つねに $f(x)\geqq 0$。すなわち

$$2x^3-3x^2+1\geqq 0(x\geqq 0)$$

等号は $x=1$ のとき。

まとめ:不等式 $f(x)\geqq 0$ の証明は「最小値 $\geqq 0$ を示す」に言いかえる。微分で最小値を出し、それが $0$ 以上なら証明完了。等号成立の $x$ も答えると丁寧だ。

発展 — 一歩先へ。 「最小値がちょうど $0$」の不等式は、グラフが $x$ 軸に接する瞬間を持つ。だから左辺は必ず(重根)を含み、今回のように $(\text{何か}{)}^2\times (\text{正の因数})$ へ分解できる可能性が高い。等号付きの不等式証明では、まず等号成立点を探して因数定理を試すのは有力な偵察だ。

ただし因数分解がいつも見つかるとは限らない。指数や三角関数が混ざる不等式(数IIIで登場)では分解が存在せず、微分で最小値を追う方法だけが通用する。汎用の微分ルートを本解に据えるのはそのためだ。

別解

この左辺は、実は微分なしの因数分解で片づく。

$x=1$ を代入すると $2-3+1=0$。因数定理で $(x-1)$ をもつ。割ってみると

$$2x^3-3x^2+1=(x-1)(2x^2-x-1)=(x-1{)}^2(2x+1)$$

$(2x^2-x-1$ がさらに $(x-1)(2x+1)$ と割れて、$(x-1)$ が $2$ 乗で現れる$)$。

あとは符号を見るだけ。$(x-1{)}^2\geqq 0$ はいつでも成立。$x\geqq 0$ なら $2x+1>0$。よって積は $\geqq 0$ — 証明終わり。

微分ルートで「最小値が $0$」だったことと、因数分解で「$(x-1{)}^2$ が現れる」ことは同じ事実の裏表だ。グラフが $x=1$ で $x$ 軸に接しているから、式では重根 $(x-1{)}^2$ になる。等号成立 $x=1$ も因数から一目で読める。