傾きが与えられた接点

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 これまでは「接点 → 傾き」の向きだった。今回は逆向きだ。

「傾きが $4$ になるのは、どの点か?」

接線の傾きは、微分係数 — つまり

$$f^{\prime }(x)=4$$

この方程式を解けばよい。

$$f(x)=x^2⟹f^{\prime }(x)=2x$$

$$2x=4⟹x=2$$

接点の $x$ 座標が $2$ と分かった。

$y$ 座標も忘れずに。 接点は曲線上にあるので

$$y=f(2)=2^2=4$$

$$\text{接点}(2,4)$$

「傾きから接点を逆算する」 — $f^{\prime }(x)=(\text{与えられた傾き})$ という方程式を解くだけである。

① 傾きの条件を式にする。 接線の傾きは $f^{\prime }(x)=2x$。これが $4$ なので

$$2x=4\Rightarrow x=2$$

② $y$ 座標を求める。 $y=x^2$ に $x=2$ を代入。

$$y=2^2=4$$

よって接点は $(2,4)$。

まとめ:「傾きが決まっている接線」は、$f^{\prime }(x)$ が指定の傾きに等しいという方程式を解いて接点の $x$ を出す。$y$ は元の曲線に代入して求める。

発展 — 一歩先へ。 「$f^{\prime }(x)=m$ を解いて接点を求める」— この発想を、曲線の外の点から接線を引く問題に応用しよう。入試の定番だ。

問題: 点 $(0,-1)$ から、放物線 $y=x^2$ に接線を引け。

注意: 点 $(0,-1)$ は、放物線の上にない($f(0)=0\ne -1$)。接点は別の場所にある。

手順: 接点を $(t,t^2)$ と"文字で置く"。

その点での接線は

$$y-t^2=2t(x-t)⟹y=2tx-t^2$$

この接線が、点 $(0,-1)$ を通る条件。

$$-1=2t\times 0-t^2⟹t^2=1⟹t=\pm 1$$

接点が $2$ つ見つかった! $(1,1)$ と $(-1,1)$。

接線も $2$ 本。

$$y=2x-1\text{と}y=-2x-1$$

曲線の外の点からは、接線が $2$ 本引ける — 放物線の場合はそうだ。

この手法の核心は「接点を文字で置く」こと。

接点が分かっていないのだから、$t$ と置いて、条件から $t$ を決める。

同じ手法が、$3$ 次関数でも使える。 そして $3$ 次関数では、外の点から引ける接線の本数が $1$ 本、$2$ 本、$3$ 本と変わる(点の位置による)— これが入試の頻出テーマになる。

「接線の本数」を数える問題は、$t$ についての方程式が「何個の実数解を持つか」の問題に翻訳される。

$$(\text{接線の本数})=(t\text{の方程式の実数解の個数})$$

そして実数解の個数は、グラフの交点として数えられる — 問題が、また別の問題に翻訳された。

「翻訳の連鎖」が、難問を解く道筋を作る。

$$\text{接線の本数}\to t\text{の方程式の解の個数}\to \text{グラフの交点の個数}\to \text{増減表}$$

$1$ つ $1$ つの翻訳は易しい。 しかし、それを連ねると、最初は手も足も出なかった問題が解ける。

数学の力とは、この"翻訳の連鎖"を組み立てる力なのである。

別解

判別式ルートでも解ける。 そして、$2$ つのルートを比べると、「傾きが与えられた接線」の構造が見えてくる。

判別式ルート。

傾き $4$ の直線を、$y=4x+k$ と置く($k$ は未知)。

この直線が $y=x^2$ に接する条件を求める。

連立して、$2$ 次方程式を作る。

$$x^2=4x+k⟹x^2-4x-k=0$$

接する $=$ 重解 $=$ 判別式 $0$。

$$D=16+4k=0⟹k=-4$$

接線は $y=4x-4$。

接点(重解)は

$$x^2-4x+4=0⟹(x-2{)}^2=0⟹x=2$$

$$y=4\times 2-4=4$$

$$\text{接点}(2,4)✓$$

微分ルートと同じ答え。

ついでに、接線の方程式も出た($y=4x-4$)。微分ルートでも、接点が分かれば

$$y-4=4(x-2)⟹y=4x-4✓$$

同じ直線である。

さて、この問題の"構造"を考えてみよう。

放物線 $y=x^2$ の接線の傾きは、$f^{\prime }(x)=2x$。

$x$ を動かすと、傾きも動く。

すべての実数の傾きが、ちょうど $1$ 回ずつ現れる。

$$\boxed{\text{放物線には、どんな傾きの接線も、ちょうど 1 本ずつ存在する}}$$

$f^{\prime }(x)=2x$ が、$x$ の $1$ 次式($1$ 対 $1$ の関数)だからだ。

では、$3$ 次関数ではどうか。

$$y=x^3⟹f^{\prime }(x)=3x^2$$

傾き $12$ の接線は?

$$3x^2=12⟹x^2=4⟹x=\pm 2$$

接点が $2$ つある! $(2,8)$ と $(-2,-8)$ — 同じ傾きの接線が $2$ 本引ける(平行な $2$ 本の接線)。

そして、傾き $-3$ の接線は?

$$3x^2=-3⟹x^2=-1$$

実数解なし — 傾きが負の接線は、$1$ 本も存在しない!($y=x^3$ は常に増加だから、当然だ。)

$f^{\prime }(x)$ の形が、「どんな傾きの接線が、何本あるか」を決めている。

$f^{\prime }$ を「傾きの分布図」として読む — この視点が、接線の本数を数える問題(入試頻出)の鍵になる。