3次関数のグラフの概形

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $f(x)=-x^3+3x$ — $3$ 次の係数が負だ。ここが今までと違う。

手順は同じ。微分して、$0$ とおく。

$$f^{\prime }(x)=-3x^2+3=-3(x^2-1)=-3(x+1)(x-1)$$

$$f^{\prime }(x)=0⟹x=-1,1$$

符号を調べる。$-3$ が掛かっているので、符号が反転することに注意。

$x=-1$ が極小、$x=1$ が極大 — 前の問題($x^3-3x$)とは、逆になった!

$$f(-1)=1-3=-2(\text{極小値})$$ $$f(1)=-1+3=2(\text{極大値})$$

$3$ 次の係数が負だと、グラフの向きが上下逆になる。

① $f^{\prime }(x)=0$ を解く。

$$f^{\prime }(x)=-3x^2+3=-3(x-1)(x+1)=0\Rightarrow x=-1,1$$

② 符号を調べる。 $f^{\prime }=-3(x-1)(x+1)$ は上に凸。$x<-1$ で負、$-1<x<1$ で正、$x>1$ で負。

• $x=-1$:負→正 で極小。$f(-1)=1-3=-2$。
• $x=1$:正→負 で極大。$f(1)=-1+3=2$。

よって $-1<x<1$ で増加、その外側で減少。

まとめ:$x^3$ の係数が負だと、グラフは「左上から来て・谷・山・右下へ」。$f^{\prime }=0$ の符号を見れば、極小が先・極大が後にくることが分かる。

発展 — 一歩先へ。 $3$ 次関数のグラフには、$3$ つの型しかない。判別式で見分けられる。

$$f^{\prime }(x)=3a{x}^2+2bx+c(f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d)$$

この $2$ 次方程式 $f^{\prime }(x)=0$ の判別式 $D$ を見る。

今回の $f(x)=-x^3+3x$ は

$$f^{\prime }(x)=-3x^2+3,D=0-4(-3)(3)=36>0$$

極値が $2$ つある ✓ S字カーブだ。

$D\leqq 0$ なら、極値がない。

例: $f(x)=x^3+x$ → $f^{\prime }(x)=3x^2+1>0$(常に正)→ 単調増加、極値なし。

この判定が、方程式の解の個数の問題に直結する。

「$3$ 次方程式 $x^3-3x=k$ の実数解の個数は?」

グラフ $y=x^3-3x$ と、水平線 $y=k$ の交点の個数を数えればよい。

$y=x^3-3x$ の極大値は $2$、極小値は $-2$。

極値の値($2$ と $-2$)が、解の個数の"境目"になっている。

「$3$ 次方程式が $3$ 個の実数解を持つ条件」は、$(\text{極大値})\times (\text{極小値})<0$($x$ 軸をまたぐ)と書ける。

極値を求める作業が、方程式の解の個数を数える技術に化けた。

微分は、方程式論の道具でもある。 グラフを描くことで、代数的には難しい「解の個数」が、目で数えられるようになるのだ。

別解

この関数は、前に扱った $y=x^3-3x$ を"ひっくり返した"ものだ。 そう気づけば、計算せずに答えが分かる。

関係を見抜く。

$$g(x)=x^3-3x(\text{問題 }7\text{で扱った関数})$$

$$f(x)=-x^3+3x=-(x^3-3x)=-g(x)$$

$$\boxed{f(x)=-g(x)}$$

$f$ は、$g$ を $x$ 軸で折り返したグラフである($y$ の符号を反転)。

折り返すと、何が起こるか。

山と谷が、入れかわる!

• $g$ の極大($x=-1$、値 $2$)→ $f$ では極小($x=-1$、値 $-2$)
• $g$ の極小($x=1$、値 $-2$)→ $f$ では極大($x=1$、値 $2$)

$$\boxed{\text{x 座標は変わらず、y の符号が反転し、極大と極小が入れかわる}}$$

計算せずに、答えが出た ✓

確かめる。

$$f(-1)=-g(-1)=-2✓(\text{極小})$$ $$f(1)=-g(1)=-(-2)=2✓(\text{極大})$$

増減も反転する。

• $g$ が増加していた区間($x<-1$ と $x>1$)→ $f$ では減少
• $g$ が減少していた区間($-1<x<1$)→ $f$ では増加

「$-1<x<1$ で増加、その外で減少」 ✓ — 答えと一致した。

グラフの概形。

左端($x\to -\infty$)から下ってきて($-x^3$ が支配的で、$x$ が負なら $-x^3$ は正の大きな値 → 左端は上!)

待った。丁寧に見よう。

$x\to -\infty$ のとき、$-x^3\to +\infty$(負の $3$ 乗は負、それにマイナスで正)。左端は上。

$x\to +\infty$ のとき、$-x^3\to -\infty$。右端は下。

つまり「左上から、右下へ」向かうグラフ — 通常の $3$ 次関数($x^3$)とは、逆向きだ。

その途中で、谷($x=-1$)を作り、山($x=1$)を作って、下っていく。

$3$ 次の係数の符号が、グラフの"大局的な向き"を決める。

$$\boxed{a>0\to \text{左下から右上へ},a<0\to \text{左上から右下へ}}$$

この向きさえ押さえれば、極大・極小の位置関係も自動的に決まる。

• $a>0$: 増加 → 極大 → 減少 → 極小 → 増加(山が先、谷が後)
• $a<0$: 減少 → 極小 → 増加 → 極大 → 減少(谷が先、山が後)

「係数の符号を見て、グラフの向きを先に決める」 — これが $3$ 次関数を描くときの第一手だ。

そして、対称性を使うと計算が半分になる。

$f(x)=-x^3+3x$ も奇関数である($f(-x)=-f(x)$)。だから原点対称 — 片方の極値が分かれば、もう片方は符号を変えるだけ。

「変換で結ばれた関数は、性質も対応する」 — これを見抜けるかどうかが、計算量を決める。