球に内接する円錐の最大体積

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 球に内接する円錐の体積を最大化する。立体のままでは扱いにくい。

球の中心を通る平面で切ると、円の中に三角形が入った平面の図になる。ここで三平方の定理が使える。

高さを $h$ とおくと、底面の半径の $2$ 乗が $r^2=6h-h^2$ と書ける。

体積 $V=\frac{\pi }{3}{r}^{2}h$ に代入すると、$V$ は $h$ だけの $3$ 次関数。微分して最大を探す。定義域は $0<h<6$。

① 断面図で関係式を作る。 球の中心 $\mathrm{O}$ を通り、円錐の軸を含む平面で切る。円錐の高さを $h$($0<h<6$)、底面の半径を $r$ とすると、底面の中心は軸の上にあり、$\mathrm{O}$ から底面までの距離は $|h-3|$。底面の円周上の点までが球の半径 $3$ だから、三平方の定理で

$$r^2+(h-3{)}^2=3^2\text{すなわち}{r}^2=6h-h^2$$

② 体積を $h$ だけの式にする。

$$V(h)=\frac{\pi }{3}{r}^{2}h=\frac{\pi }{3}(6h^2-h^3)$$

③ 微分して最大を探す。

$$V^{\prime }(h)=\frac{\pi }{3}(12h-3h^2)=\pi h(4-h)$$

$0<h<6$ で $V^{\prime }$ の符号は、$h<4$ で正、$h>4$ で負。よって $h=4$ で極大かつ最大になる。なぜ端を調べなくてよいかというと、$h\to 0$、$h\to 6$ ではどちらも $V\to 0$ となり、内部の極大が全体の最大になるからだ。

④ 最大値を計算する。

$$V(4)=\frac{\pi }{3}(6\cdot 16-64)=\frac{32}{3}\pi$$

高さ $4$ のとき最大体積 $\frac{32}{3}\pi$。このとき $r^2=24-16=8$ で、底面の半径は $2\sqrt{2}$ である。

まとめ:立体の最大最小は「断面で切って三平方 → $1$ 変数化 → 微分」の三段跳びが基本。高さ $4$ は直径 $6$ の $\frac{2}{3}$ にあたる — 球に内接する円錐の最大は「高さが直径の $2/3$」と覚えておくと検算に使える。

発展 — 一歩先へ。 制約つき最大化は、微分でも相加相乗平均でも解ける。相加相乗は「和が一定なら積は等しいとき最大」を使うので、$V\propto h^2(6-h)$ を和が一定な $3$ 数の積に変形するのがコツ。より一般には、比を保つ分割(ラグランジュの未定乗数法)で、球に内接する最大体積の円錐が高さ:半径をどう選ぶかが決まる。

別解

別解 — 相加相乗平均で微分なしに最大(得意な人向けの視点)。 体積を整理すると、$r^2=6h-h^2=h(6-h)$ だから

$$V=\frac{\pi }{3}{r}^{2}h=\frac{\pi }{3}h(6-h)\cdot h=\frac{\pi }{3}{h}^2(6-h).$$

$h^2(6-h)$ を最大にしたい。相加相乗平均を使うため、和が一定になる $3$ つに分ける。$\frac{h}{2},\frac{h}{2},6-h$ の和は $\frac{h}{2}+\frac{h}{2}+(6-h)=6$ で一定。

相加相乗平均より、和が一定なら積は $3$ つが等しいとき最大。$\frac{h}{2}=6-h$ から $h=4$。

このとき $\frac{h}{2}=6-h=2$、$h^2(6-h)=16\cdot 2=32$。よって $V=\frac{\pi }{3}\cdot 32=\frac{32}{3}\pi$。

微分して $V^{\prime }=\pi h(4-h)$ から $h=4$ を出す本解と同じ。和が一定な $3$ 数に割って相加相乗平均、という一手で、微分せずに最大の高さ $h=4$ が出る。