微分係数(定義)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 微分係数の定義は、「区間を限りなく狭めた平均変化率」だ。

$$f^{\prime }(a)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$

$h$ は「$a$ からのズレ」。 これを $0$ に近づける。

計算する。 $f(x)=x^2+x$、$a=2$。

分子を計算する。

$$f(2+h)=(2+h{)}^2+(2+h)=4+4h+h^2+2+h=h^2+5h+6$$

$$f(2)=4+2=6$$

$$f(2+h)-f(2)=h^2+5h$$

$h$ で割る。

$$\frac{h^2+5h}{h}=h+5$$

ここが急所。$h$ で約分できた — $h\to 0$ としても $\frac{0}{0}$ にならない。

$$f^{\prime }(2)=\underset{h\to 0}{\lim }(h+5)=5$$

「約分してから、$h\to 0$」 — この順序が命である。

① 分子を計算する。 $f(2)=4+2=6$、$f(2+h)=(2+h{)}^2+(2+h)=4+4h+h^2+2+h=6+5h+h^2$。

$$f(2+h)-f(2)=(6+5h+h^2)-6=5h+h^2$$

② $h$ で割って極限をとる。

$$f^{\prime }(2)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{5h+h^2}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }(5+h)=5$$

微分係数 $f^{\prime }(2)=5$。これは点 $(2,f(2))$ での接線の傾き。

まとめ:微分係数は平均変化率の極限。分子を展開すると必ず $h$ がくくり出せて約分できる。約分してから $h\to 0$ とするのが手順だ。

発展 — 一歩先へ。 微分の定義に現れる $\frac{0}{0}$ という不定形は、$17$ 世紀の数学者たちを悩ませ続けた。

ニュートンとライプニッツは、$1670$ 年代に微分法を発明した。 しかし、その基礎は危うかった。

当時の議論はこうだ。 「$h$ を $0$ でない微小な量とする。$h+5$ を計算した後で、$h$ を $0$ とみなす。」

哲学者バークリーは、これを痛烈に批判した($1734$ 年)。

「$h$ は $0$ なのか、$0$ でないのか。$0$ でないなら約分できるが、最後に $0$ とみなすのは詐欺だ。これは"死んだ量の亡霊"ではないか。」

この批判は、正当だった。 「無限小」という曖昧な概念に頼っていたのだ。

決着がついたのは、$150$ 年後。 コーシーとワイエルシュトラスが、「極限」を厳密に定義した($\epsilon$-$\delta$ 論法)。

$$\underset{h\to 0}{\lim }g(h)=L⟺\text{どんな }\epsilon >0\text{ にも }\delta >0\text{ があり、}0<|h|<\delta \Rightarrow |g(h)-L|<\epsilon$$

「$h$ を $0$ にする」のではない。「$h$ を $0$ に"いくらでも近づけたとき"、値が $L$ にいくらでも近くなる」と言い換えた。

$h$ は決して $0$ にならない($0<|h|$ という条件がある)。だから約分は正当だ。 そして「近づく先」だけを問題にする — 亡霊は消えた。

微分積分は、$200$ 年かけて、ようやく厳密な基礎を得た。

数学は、しばしば「使えるが、なぜ使えるか分からない」状態から始まる。 厳密化は後からついてくる — しかし、その厳密化こそが、次の飛躍を可能にするのだ。

あなたが今、$h$ で約分している。 その操作の正当性のために、$150$ 年の議論があった。

別解

導関数の公式を使えば、$3$ 秒で終わる。 しかし、それでも定義を学ぶ意味がある — その理由を明らかにしよう。

公式ルート。

$$f(x)=x^2+x⟹f^{\prime }(x)=2x+1$$

$$f^{\prime }(2)=2\times 2+1=5✓$$

$1$ 行で終わった。 定義の計算(展開、約分、極限)が、公式では $1$ ステップに圧縮されている。

では、なぜわざわざ定義から計算するのか。

理由1: 公式は、定義から作られる。

$f(x)=x^2$ の導関数を、定義から導いてみよう。

$$f^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{(x+h{)}^2-x^2}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{2xh+h^2}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }(2x+h)=2x$$

公式 $(x^2{)}^{\prime }=2x$ が出てきた。 公式は天から降ってきたのではなく、定義から作られたのだ。

理由2: 公式が使えない関数に出会ったとき、定義に戻るしかない。

数IIIで学ぶ $(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$、$(e^x{)}^{\prime }=e^x$ — これらもすべて定義から証明される。

理由3: $\frac{0}{0}$ という不定形の意味が分かる。

$h\to 0$ とすると、分子も分母も $0$ に近づく。

$$\frac{f(2+h)-f(2)}{h}\to \frac{0}{0}?$$

$\frac{0}{0}$ は、そのままでは意味を持たない(何にでもなりうる)。しかし、"どう $0$ に近づくか"の速さの比なら、意味がある。

$$\frac{h^2+5h}{h}=h+5$$

約分すると、正体が見える。 分子は「$h$ の $1$ 次の速さ」で $0$ に近づき、分母も同じ速さ — だから比は有限の値に収束する。

「$0$ に近づく $2$ つの量の比」 — これが微分の本質だ。$\frac{0}{0}$ の形になるからこそ、意味がある。

極限の値が、割り切れた形($h+5$)の $h=0$ での値になるのは、$h+5$ が $h=0$ で連続だからである。約分してしまえば、あとは代入するだけでよい。

数値で確かめよう。

$5$ に収束していく ✓ 極限の意味が、数値で見える。

負の側から近づけても同じ。 $h=-0.01$ なら $4.99$ — やはり $5$ に近づく。

「左右どちらから近づいても同じ値になる」ことが、微分可能であることの条件である。$y=|x|$ が原点で微分できないのは、左からは $-1$、右からは $+1$ と、食い違うからだった。

定義の計算は、遠回りに見えて、微分のすべてを含んでいる。