数学II / 微分の考え

閉区間での最大・最小(両端に注意)

★★ 標準最大最小

問題

$- 1 ≦ x ≦ 3$ における関数 $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 2$ の最大値と最小値を求めよ。

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極値の候補と両端、あわせて $4$ つの値を全部計算してくらべる。この問題では同じ値が別々の $x$ で現れる — 最大・最小を与える $x$ をすべて挙げること。

解答・解説

区間内の $f^{'} = 0$ の点と、両端 $x = - 1, 3$ の値を全部くらべる。同じ値が $2$ か所で起こることもあるので、値でそろえて判断する。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 閉区間での最大最小は、候補を全部並べて比べる問題だ。

候補は $2$ 種類しかない。区間の中で傾きが $0$ になる点( $f^{'} = 0$ )と、区間の両端。極値だけ見て端を忘れると、端で最大になるケースを落とす。

今回はさらにひとつ罠がある。同じ値が $2$ か所で実現する。候補の値を全部数字でそろえてから、最大・最小を宣言するのが安全だ。

公式閉区間の最大最小 = 区間内の

f^{'} = 0

の点と両端の値をすべてくらべる

① $f^{'} = 0$ の候補を出す。 $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 6 x = 3 x (x - 2) = 0$ より $x = 0, 2$ 。どちらも区間 $[- 1, 3]$ 内。

② 候補と両端の値を計算する。

$f (- 1) = - 1 - 3 + 2 = - 2, f (0) = 2$

$f (2) = 8 - 12 + 2 = - 2, f (3) = 27 - 27 + 2 = 2$

③ 最大・最小を選ぶ。 値は ${- 2, 2, - 2, 2}$ 。

$最大値 2 (x = 0, 3), 最小値 - 2 (x = - 1, 2)$

y=x^3-3x^2+2(-1≦x≦3):最大2(x=0,3)・最小-2(x=-1,2)

まとめ:候補は「区間内の極値」+「両端」。今回は最大も最小も $2$ か所ずつで起こる。値をそろえて書き出せば、同じ値の見落としを防げる。

発展 — 一歩先へ。 区間の幅を変えると答えの顔ぶれが変わる。右端が $3$ より手前なら最大は $x = 0$ の $1$ か所、 $3$ を超えると端の値が極大を追い越して最大は端だけになる。区間の端がちょうど「接する横線の交点」に乗る今回は、その切り替わりの瞬間を見ていることになる。

区間に文字( $- 1 ≦ x ≦ a$ など)が入ると、この切り替わりを場合分けで追う入試の定番問題になる。今回の「値をそろえて比べる」丁寧さが、そのまま場合分けの境目を見つける力になる。

答

最大値 $2$ ( $x = 0, 3$ )、最小値 $- 2$ ( $x = - 1, 2$ )

「最大が $x = 0$ と $3$ の $2$ か所」は偶然ではない。最大値の横線 $y = 2$ を曲線から引いてみると

$f (x) - 2 = x^{3} - 3 x^{2} = x^{2} (x - 3)$

$x = 0$ が重解、 $x = 3$ が単解。つまり横線 $y = 2$ は、山頂 $x = 0$ で曲線に接し、 $x = 3$ で曲線を横切る。接した場所(極大)と横切った場所(端)が同じ高さにいる — それが「最大 $2$ か所」の正体だ。

最小も同じ構図で

$f (x) + 2 = (x + 1) (x - 2)^{2}$

谷底 $x = 2$ で接し、 $x = - 1$ (端)で横切る。

「最大・最小の横線は、極値点で曲線に接する」— この見方を持つと、閉区間の答えの検算(値を引いて因数分解できるか)が式でできるようになる。