極値の差は極値点の間隔だけで決まる(論証)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「係数によらず一定」を示す問題。$f^{\prime }(x)$ が極値の情報を持つので、そこから攻める。

$x=\alpha ,\beta$ で極値をとるから $f^{\prime }(x)=3(x-\alpha )(x-\beta )$ と書ける($f^{\prime }$ は $3x^2+\dots$ で最高次係数 $3$)。

これを展開して係数を比べると、$a,b$ が $\alpha ,\beta$ で表せる。

そのうえで $f(\alpha )-f(\beta )$ を計算し、$\alpha +\beta$ と $\alpha \beta$ の対称式にまとめると、じつは $\beta -\alpha$ だけで決まる。$\beta -\alpha =2$ を入れれば値が確定する。

① 係数を $\alpha$、$\beta$ で表す。 $f^{\prime }(x)=3x^2+2ax+b=3(x-\alpha )(x-\beta )$ を展開して比べると、$s=\alpha +\beta$、$p=\alpha \beta$ として

$$2a=-3s,b=3p$$

② 差を計算する。 $c$ は引き算で消えることに注意して、

$$f(\alpha )-f(\beta )=({\alpha }^3-{\beta }^3)+a({\alpha }^2-{\beta }^2)+b(\alpha -\beta )$$

共通因数 $\alpha -\beta$ でくくる。

$$=(\alpha -\beta )\left\{({\alpha }^2+\alpha \beta +{\beta }^2)+a(\alpha +\beta )+b\right\}$$

③ 対称式に直して整理する。 ${\alpha }^2+\alpha \beta +{\beta }^2=s^2-p$、$a=-\frac{3}{2}s$、$b=3p$ を代入すると、中かっこの中は

$$(s^2-p)-\frac{3}{2}{s}^2+3p=-\frac{1}{2}{s}^2+2p=-\frac{1}{2}(s^2-4p)=-\frac{1}{2}(\alpha -\beta {)}^2$$

よって

$$f(\alpha )-f(\beta )=-\frac{1}{2}(\alpha -\beta {)}^3=\frac{(\beta -\alpha {)}^3}{2}$$

$a$、$b$、$c$ は式から消えており、差は極値点の間隔 $\beta -\alpha$ だけで決まる。(証明終)

④ 値を求める。 $\beta -\alpha =2$ だから $f(\alpha )-f(\beta )=\frac{2^3}{2}=4$。

まとめ:最高次の係数が $1$ の $3$ 次関数では、極値の差はつねに $\frac{(\beta -\alpha {)}^3}{2}$。グラフを平行移動しても差が変わらない(=$c$ や中心の位置によらない)ことの、式による裏づけになっている。

発展 — 一歩先へ。 極大値と極小値の差 $\frac{(\beta -\alpha {)}^3}{2}$ は、極値点の間隔だけで決まり、グラフの上下位置($c$)や左右位置には無関係。これは $3$ 次関数がすべて相似(拡大・平行移動で重なる)であることの現れ。$\frac{1}{6}$ 公式で面積とつながるのも、両方が「区間幅の $3$ 乗」に比例するからだ。

別解

別解 — $\frac{1}{6}$ 公式(定積分)で差を出す(得意な人向けの視点)。 極大値と極小値の差は、$f^{\prime }$ の定積分で書ける。

$$f(\alpha )-f(\beta )=-{\int }_{\alpha }^{\beta }{f}^{\prime }(x)dx=-{\int }_{\alpha }^{\beta }3(x-\alpha )(x-\beta )dx.$$

ここで有名な $\frac{1}{6}$ 公式 ${\int }_{\alpha }^{\beta }(x-\alpha )(x-\beta )dx=-\frac{(\beta -\alpha {)}^3}{6}$ を使う。

$$f(\alpha )-f(\beta )=-3\cdot \left(-\frac{(\beta -\alpha {)}^3}{6}\right)=\frac{(\beta -\alpha {)}^3}{2}.$$

$\beta -\alpha =2$ を入れて $\frac{8}{2}=4$。

$a,b$ を $\alpha ,\beta$ で表して対称式にまとめる本解と同じ結果。極値の差が「極値点の間隔 $\beta -\alpha$ の $3$ 乗」だけで決まる仕組みが、$\frac{1}{6}$ 公式でスッキリ見える。面積(積分)と極値の差が同じ式でつながるのが面白い。