数学II / 微分の考え

3次方程式の解の符号の指定

★★★★ 難関解の個数解の配置

問題

$a$ を実数の定数とする。 $3$ 次方程式 $2 x^{3} - 3 x^{2} - 12 x + a = 0$ が、異なる $2$ つの正の解と $1$ つの負の解をもつような $a$ の値の範囲を求めよ。

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定数 $a$ を分離してグラフと横線で考える。 $3$ 交点の個数だけでなく『どこにあるか』— 符号の境目 $x = 0$ での関数の値が効いてくる。

解答・解説

方針

$a$ を分離して $2 x^{3} - 3 x^{2} - 12 x = - a$ とし、 $φ (x) = 2 x^{3} - 3 x^{2} - 12 x$ のグラフと横線 $y = - a$ の交点で考える。交点が $3$ つあることに加え、「どこにあるか」を $φ (0) = 0$ を境に読み取る。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $3$ 次方程式の解の「符号」を指定する問題。定数 $a$ を分離してグラフで見るのが定石。

$2 x^{3} - 3 x^{2} - 12 x = - a$ と変形し、 $φ (x) = 2 x^{3} - 3 x^{2} - 12 x$ のグラフと横線 $y = - a$ の交点を考える。

まず交点が $3$ つ(異なる $3$ 実解)必要。これは $y = - a$ が極大値と極小値の間にある条件。

さらに「 $2$ つが正・ $1$ つが負」を、 $φ (0) = 0$ を境に読み取る。原点での値が符号の分かれ目だ。

① 定数を分離する。 方程式を $2 x^{3} - 3 x^{2} - 12 x = - a$ と変形し、 $φ (x) = 2 x^{3} - 3 x^{2} - 12 x$ のグラフと横線 $y = - a$ の交点を調べる。

② グラフの形を調べる。 $φ^{'} (x) = 6 x^{2} - 6 x - 12 = 6 (x + 1) (x - 2)$ より、 $x = - 1$ で極大 $φ (- 1) = 7$ 、 $x = 2$ で極小 $φ (2) = - 20$ 。また $φ (0) = 0$ である。

φ(x)=2x³−3x²−12x。横線 y=−a が −20 と 0 の間にあるとき、交点は負・正・正の配置になる

③ 「正 $2$ つ・負 $1$ つ」を横線の高さの条件に翻訳する。 まず異なる $3$ 実解をもつには、横線が極大と極小の間にあること:

$- 20 < - a < 7$

$3$ つの解は、増加部分( $x < - 1$ )・減少部分( $- 1 < x < 2$ )・増加部分( $x > 2$ )に $1$ つずつある。

$x < - 1$ の解はつねに負。
$x > 2$ の解はつねに正。
真ん中の解の符号が問題になる。 $φ$ は $- 1 < x < 2$ で減少していて $φ (0) = 0$ だから、真ん中の解が正 ⟺ 横線が $φ (0) = 0$ より下、すなわち $- a < 0$ 。

④ 条件を合わせる。 $- 20 < - a < 7$ かつ $- a < 0$ より $- 20 < - a < 0$ 、すなわち

$0 < a < 20$

まとめ:解の「個数」は極値との比較、「位置(符号)」は境目の $x$ での関数の値との比較 — 定数分離の横線を、極大・極小・ $φ (0)$ の $3$ つの高さと見比べるだけで答えが決まる。

発展 — 一歩先へ。 解の符号は、要所の値の符号で決まる。 $P (0)$ の符号が「 $0$ をまたぐ回数」を、極大・極小の符号が「実解の個数」を制御する。連続関数が符号を変えれば間に根がある(中間値の定理)ので、テスト点の符号表を作れば、グラフを厳密に描かなくても根の配置が読める。数値解法の「符号変化で根を挟む」考えの基礎だ。

答

$0 < a < 20$

別解

別解 — $2$ か所の符号だけで決める(得意な人向けの視点)。 グラフを細かく追わなくても、 $P (x) = 2 x^{3} - 3 x^{2} - 12 x + a$ の値を要所で調べれば符号配置が決まる。

$P (x)$ は下に開いて上がる $3$ 次関数(最高次が正)。極大は $x = - 1$ 、極小は $x = 2$ 。「 $2$ つの正の解と $1$ つの負の解」になるには、 $2$ か所を見ればよい。

まず原点での値 $P (0) = a$ 。負の解が $1$ つだけで正の解が $2$ つなら、グラフは $x = 0$ の左で $1$ 回だけ軸を横切り、 $x = 0$ で正の側にいる。よって $P (0) = a > 0$ 。

次に正の側で $2$ 回横切るには、極小(谷) $x = 2$ が軸より下でなければならない。 $P (2) = 16 - 12 - 24 + a = a - 20 < 0$ 、すなわち $a < 20$ 。

$2$ つを合わせて $0 < a < 20$ 。 $φ (x) = - a$ の交点を数える本解と同じ範囲。 $P (0)$ と極小 $P (2)$ の $2$ つの符号だけで、解の符号配置が確定する。

ポイント

個数の条件: $- 20 < - a < 7$ (横線が極値の間)。
位置の条件:真ん中の解が正 ⟺ $- a < φ (0) = 0$ 。

よくある間違い

解の「個数」だけ考え、「符号(正・負)」の条件を落として範囲を広く取る。
$φ (0) = 0$ が符号の境目である点に気づかず、正負の振り分けができない。
異なる $3$ 実解の条件(極大・極小の間)と符号条件のどちらか一方しか課さない。