2次方程式・2次不等式 — 判別式・解の配置

次の2次方程式を解け。

(1) $x^2+7x+10=0$

(2) $x^2=4x$

(3) $2x^2-5x-3=0$

次の2次方程式を解け。

(1) $x^2+3x-5=0$

(2) $x^2-6x+4=0$

(3) $2x^2+7x+4=0$

次の2次方程式の実数解の個数を求めよ。

(1) $x^2+3x+1=0$

(2) $4x^2-12x+9=0$

(3) $2x^2-3x+4=0$

$m$ は定数とする。

(1) 2次方程式 $x^2+6x+m=0$ が実数解をもつような $m$ の値の範囲を求めよ。

(2) 2次方程式 $x^2-mx+m=0$ が重解をもつような $m$ の値を求めよ。また、そのときの重解を求めよ。

次の2次関数のグラフと $x$ 軸の共有点の個数を求めよ。また、共有点があるときは、その座標を求めよ。

(1) $y=x^2-2x-8$

(2) $y=x^2-6x+9$

(3) $y=x^2+4x+6$

次の2次不等式を解け。

(1) $x^2-x-12<0$

(2) $x^2+2x-15\ge 0$

(3) $-x^2+5x-4>0$

次の2次不等式を解け。

(1) $x^2-8x+16>0$

(2) $x^2+6x+9\le 0$

(3) $x^2-4x+7>0$

(4) $x^2+2x+5<0$

次の連立不等式を解け。

$$\{\begin{array}{l}{x}^2-4x-5<0\\ \\ x^2-x-2\ge 0\end{array}$$

すべての実数 $x$ に対して、2次不等式 $x^2+mx+m+3>0$ が成り立つような定数 $m$ の値の範囲を求めよ。

次の放物線と直線の共有点の個数を求めよ。また、共有点があるときは、その座標を求めよ。

(1) 放物線 $y=x^2+2x-3$ と直線 $y=x+3$

(2) 放物線 $y=x^2+4x+5$ と直線 $y=2x+4$

2次方程式 $x^2-2mx+m+6=0$ が異なる2つの正の解をもつような定数 $m$ の値の範囲を求めよ。

周囲の長さが $40\mathrm{cm}$ の長方形をつくる。縦の長さを $x\mathrm{cm}$ とするとき、この長方形の面積が $96{\mathrm{cm}}^2$ 以上となるような $x$ の値の範囲を求めよ。

次の2次方程式を解け。

(1) $3x^2+5x-2=0$

(2) $2x^2-6x+3=0$

$m$ を定数とする。$x$ の2次方程式 $x^2+(m-1)x+m+2=0$ について、次の問いに答えよ。

(1) 異なる2つの実数解をもつような $m$ の値の範囲を求めよ。

(2) 重解をもつような $m$ の値と、そのときの重解を求めよ。

(1) 放物線 $y=-x^2+4x+5$ と $x$ 軸の共有点の座標を求めよ。

(2) 放物線 $y=x^2-6x+k$ が $x$ 軸と接するように定数 $k$ の値を定め、そのときの接点の座標を求めよ。

次の2次不等式を解け。

(1) $x^2-2x-15>0$

(2) $-2x^2+5x+3\ge 0$

(3) $x^2-6x+7<0$

次の2次不等式を解け。

(1) $x^2-6x+9>0$

(2) $4x^2+12x+9\le 0$

(3) $x^2-3x+4<0$

(4) $2x^2+x+1>0$

連立不等式

$$\{\begin{array}{l}{x}^2-x-6<0\\ x^2-4x+3\ge 0\end{array}$$

を解け。また、この連立不等式を満たす整数 $x$ をすべて求めよ。

周囲の長さが $40\mathrm{m}$ の長方形の土地を作る。縦の長さを $x\mathrm{m}$ とするとき、この土地の面積が $96{\mathrm{m}}^2$ 以上となるような $x$ の値の範囲を求めよ。

$k$ を定数とする。放物線 $y=x^2-2x+3$ と直線 $y=2x+k$ について、次の問いに答えよ。

(1) $k=0$ のとき、放物線と直線の共有点の座標を求めよ。

(2) 放物線と直線が接するときの $k$ の値と、接点の座標を求めよ。

(3) 放物線と直線が共有点をもたないような $k$ の値の範囲を求めよ。

すべての実数 $x$ に対して、不等式 $x^2-2(k-1)x+k+5>0$ が成り立つような定数 $k$ の値の範囲を求めよ。

$a$ を定数とする。$x$ の2次不等式 $x^2-(a+3)x+3a<0$ を解け。

$x$ の2次方程式 $x^2-2mx+m+2=0$ が異なる2つの正の解をもつような定数 $m$ の値の範囲を求めよ。

$x$ の2次方程式 $x^2-2ax+4a-5=0$ が、$1$ より大きい解と $1$ より小さい解を1つずつもつような定数 $a$ の値の範囲を求めよ。

$k$ を定数とする。2つの2次方程式

$$x^2+kx+1=0,x^2+x+k=0$$

がただ1つの共通の実数解をもつとき、$k$ の値とその共通解を求めよ。

$a$ を実数の定数とし、2次方程式

$$x^2-2ax+a+6=0$$

を考える。

(1) 異なる2つの負の解をもつような $a$ の値の範囲を求めよ。

(2) 1つの解が $0<x<2$ の範囲に、もう1つの解が $x>2$ の範囲にあるような $a$ の値の範囲を求めよ。

$a$ を実数の定数とする。$x$ の2次不等式

$$x^2-(a+1)x+a<0$$

を満たす整数 $x$ がちょうど $3$ 個であるような $a$ の値の範囲を求めよ。

$a$ を実数の定数とする。$0\leqq x\leqq 2$ を満たすすべての実数 $x$ に対して

$$x^2-2ax+a+2>0$$

が成り立つような $a$ の値の範囲を求めよ。

$a$ を実数の定数とする。$x$ の不等式

$$x^2-(a^2+a)x+a^3<0$$

を解け。

$a$ を実数の定数とし、放物線 $y=x^2-2ax+a+2$ を考える。

(1) この放物線が $x$ 軸の $x>1$ の部分と異なる2点で交わるような $a$ の値の範囲を求めよ。

(2) この放物線が $x$ 軸の $x>1$ の部分と $x<1$ の部分の両方と交わるような $a$ の値の範囲を求めよ。

$k$ を定数とする。方程式

$$|x^2-2x-3|=k$$

の異なる実数解の個数を、$k$ の値によって場合分けして答えよ。

ある商品は1個 $100$ 円で販売すると1日に $300$ 個売れる。この商品を1円値上げするごとに、1日の販売個数は $2$ 個ずつ減るという。1日の売上金額(価格 × 販売個数)を $30800$ 円以上にしたい。値上げ額をいくらからいくらまでの範囲にすればよいか。

$a$ を実数の定数とする。$2$ 次方程式 $x^2-2ax+a+2=0$ が異なる $2$ つの正の解をもつような $a$ の値の範囲を求めよ。

$a$ を実数の定数とする。$2$ 次方程式 $x^2-2ax+a=0$ が $0\le x\le 2$ の範囲に少なくとも $1$ つの実数解をもつような $a$ の値の範囲を求めよ。

すべての実数 $x$ に対して $x^2+2(a-1)x+2a+1>0$ が成り立つような、定数 $a$ の値の範囲を求めよ。

次の連立不等式を解け。

$$\{\begin{array}{l}{x}^2-x-2>0\\ x^2-4x+3\le 0\\ x^2<9\end{array}$$

放物線 $y=x^2$ と直線 $y=2x+a$ が異なる $2$ 点で交わり、その $2$ つの交点の $x$ 座標がともに正となるような、定数 $a$ の値の範囲を求めよ。

$2$ 次不等式 $a{x}^2+bx+c>0$ の解が $x<-2,3<x$ であるとき、$2$ 次不等式 $c{x}^2+bx+a<0$ の解を求めよ。ただし $a,b,c$ は定数とする。

放物線 $y=x^2-2ax+a$ が $x$ 軸と異なる $2$ 点で交わり、その $2$ 交点間の距離が $2$ であるとき、定数 $a$ の値を求めよ。

$a$ を実数の定数とする。$2$ 次方程式 $x^2+(a-2)x+a=0$ が、$1$ より小さい解と $1$ より大きい解を $1$ つずつもつような $a$ の値の範囲を求めよ。

$2$ 次方程式 $x^2-3x+1=0$ の $2$ つの解を $\alpha ,\beta$ とする。${\alpha }^5+{\beta }^5$ の値を求めよ。

$2$ 次方程式 $x^2-ax+a=0$ が(重解も含めて)整数の解をもつような正の整数 $a$ をすべて求めよ。

$2$ 次方程式 $x^2-3x+1=0$ の $2$ 解を $\alpha ,\beta$ とする。${\alpha }^2,{\beta }^2$ を $2$ 解とする $2$ 次方程式を $1$ つ求めよ。

$\alpha =1+\sqrt{2}$ とする。$\alpha$ は $2$ 次方程式 $x^2-2x-1=0$ の解であることを用いて、${\alpha }^4$ を計算せよ。

$a>1$ とする。$2$ 次不等式 $(x-1)(x-a)\le 0$ を満たす整数 $x$ がちょうど $3$ 個となるような $a$ の範囲を求めよ。

$0<\theta <\frac{\pi }{2}$ とする。$\sin \theta ,\cos \theta$ を $2$ つの解とする $2$ 次方程式が $x^2+ax+b=0$ であるとき、$a$ と $b$ の間に成り立つ関係式を求めよ。

$a\ne b$ とする。$2$ 次方程式 $x^2+ax+b=0$ と $x^2+bx+a=0$ が共通の解をもつとき、その共通解を求め、$a,b$ が満たす関係を求めよ。

$x^2+y^2=1$ のとき、$x+y^2$ の最大値と最小値を求めよ。

$a,b,c$ を実数とする。$x$ の方程式

$$(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)=0$$

は必ず実数解をもつことを示せ。また、重解をもつのは $a,b,c$ がどのような場合かを求めよ。

$0\le t\le 1$ を満たすすべての $t$ に対して

$$x^2+tx-t-2<0$$

が成り立つような $x$ の値の範囲を求めよ。

$p,q$ を実数とし、$f(x)=x^2+px+q$ とする。

(1) $f(1)-2f(2)+f(3)=2$ が成り立つことを示せ。

(2) $|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|$ のうち少なくとも1つは $\frac{1}{2}$ 以上であることを示せ。

$x$ の2次方程式 $x^2-2kx+k+2=0$ が実数解 $\alpha ,\beta$(重解を含む)をもつとき、${\alpha }^2+{\beta }^2$ の最小値と、そのときの $k$ の値を求めよ。

$f(x)=x^2-2$ とする。方程式 $f(f(x))=x$ の実数解をすべて求めよ。

$a,b,c$ がすべて奇数のとき、2次方程式 $a{x}^2+bx+c=0$ は有理数の解をもたないことを示せ。

$a$ を実数の定数とする。2次方程式 $x^2+ax+1=0$ が $0<x<2$ の範囲にちょうど1つの解をもつような $a$ の値の範囲を求めよ(重解が範囲内にある場合も「ちょうど1つ」に数える)。

すべての実数 $x$ に対して、次の不等式が成り立つことを示せ。

$$x^4-x+\frac{1}{2}>0$$