2次不等式の解法(x軸と2点で交わる型)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 2次不等式はグラフで読む。まず $=0$ の交点を求め、放物線の絵で「$<0$ は内側、$>0$ は外側」と読む。

(2)のように $x^2$ の係数が負なら、先に $-1$ を掛けて下に凸にそろえる。向きが逆になることだけ注意。

(3)は因数分解できないが、あわてない。交点は解の公式で出せばよい。考える型はいつも1つ、「交点を出してグラフの高さを読む」だ。

(1)

$x^2-2x-15>0$。因数分解すると

$$(x+3)(x-5)>0$$

$>0$ は外側なので

$$x<-3,5<x$$

(2)

$-2x^2+5x+3\ge 0$ は $x^2$ の係数が負。両辺に $-1$ をかけて(向きが逆になる)

$$2x^2-5x-3\le 0$$

たすき掛けで因数分解する。

$$(2x+1)(x-3)\le 0$$

$\le 0$ は内側なので

$$-\frac{1}{2}\le x\le 3$$

(3)

$x^2-6x+7<0$。因数分解できないので、$=0$ を解の公式($b=-6$ 偶数)で解く。

$$x=3\pm \sqrt{(-3{)}^2-7}=3\pm \sqrt{2}$$

交点は $x=3\pm \sqrt{2}$。$<0$ は内側なので

$$3-\sqrt{2}<x<3+\sqrt{2}$$

まとめ:2次不等式は『交点を求めて、内側($<0$)か外側($>0$)かを読む』。$x^2$ の係数が負なら $-1$、因数分解できないなら解の公式、と場面で使い分ける。

発展 — 一歩先へ。 「交点を出して高さを読む」という見方は、2次に限らない。数学IIの3次以上の不等式では、別解の「因数の符号」を表に整理する方法(符号表)が主役になる。

不等式を「方程式+グラフ」に分解して考える習慣は、この先の指数・対数・三角の不等式でもそのまま通用する、一生モノの型だ。

別解

グラフを描かずに、「積の符号」の論理で解く方法もある。

(1) $(x+3)(x-5)>0$ は「2つの因数の積が正」ということ。積が正になるのは、両方正か、両方負のときだ。

• 両方正: $x>-3$ かつ $x>5$、つまり $x>5$。
• 両方負: $x<-3$ かつ $x<5$、つまり $x<-3$。

合わせて $x<-3$ または $x>5$。グラフの「外側」と同じ答えになる。

$<0$ なら「片方が正で片方が負」を考えればよい。数の符号ルール(正×正、負×負は正)だけで解けるので、グラフのイメージがまだ不安な人の検算ルートとして使える。ただし因数が増えると場合分けが膨らむので、最終的にはグラフ読みに慣れるのが得だ。