2つの2次方程式の共通解

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 共通解 $\alpha$ は両方の式を同時に満たす。なら、2式を辺々引いた式も満たすはずだ。

引くと $x^2$ が消えて $(a-b)x+(b-a)=0$、くくって $(a-b)(x-1)=0$。$a\ne b$ だから $x=1$ — 共通解の候補が1点に絞れた。

あとは $x=1$ を元の式に代入して、$a,b$ の関係 $1+a+b=0$ を出す。「2次の差は1次」— 共通解問題の定石だ。

① 辺々引く。 共通解を $x$ とする。$2$ 式を引くと $$(x^2+ax+b)-(x^2+bx+a)=0⟹(a-b)x+(b-a)=0⟹(a-b)(x-1)=0.$$ ② 共通解。 $a\ne b$ より $a-b\ne 0$ だから $x-1=0$、すなわち共通解は $x=1$。

③ 関係式。 $x=1$ を $x^2+ax+b=0$ に代入して $$1+a+b=0⟹a+b=-1.$$

まとめ $2$ 式を引くと $(a-b)(x-1)=0$、$a\ne b$ で共通解 $x=1$。代入して $a+b=-1$。$2$ 次方程式(共通解)と連立の融合。差をとって次数を下げるのが定石。

発展 — 一歩先へ。 「係数の和 $=0⟺x=1$ が解」「交代和(符号を交互に付けた和)$=0⟺x=-1$ が解」のペアは、3次以上でも通用する因数定理の即読版だ。たとえば $x^3-6x^2+11x-6=0$ は係数の和 $0$ → $(x-1)$ で割れる、と1秒で見抜ける。高次方程式の第一手「有理数解の候補を試す」の、いちばん速い2つの試し方として常備したい。

別解

「係数の和が0 ⟺ $x=1$ が解」で即読する。 2次方程式 $x^2+px+q=0$ に $x=1$ を代入すると $1+p+q$ — つまり

係数の総和が $0$ ⟺ $x=1$ が解

という即読の規則がある。本問の2式の係数の和はどちらも $1+a+b$。だから

$$a+b=-1⟹x=1\text{が両方の解(共通解)}$$

逆に、共通解が $x=1$ に限ることは、本解の引き算($a\ne b$ より $x=1$ 以外にない)が保証する。おまけに残りの解も読める: 解の積から、第1式のもう1つの解は $b$、第2式のもう1つの解は $a$ — 全景は「$\{1,b\}$ と $\{1,a\}$」だった。

「係数の和=0 なら $x=1$」「交代和=0 なら $x=-1$」のペアは、高次方程式の因数探しでも最初に試す1秒の検査として、ずっと使い続ける道具になる。