放物線と直線の共有点

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 放物線と直線の共有点は、連立して $y$ を消した2次方程式がすべてを握っている。

(1)は、その方程式を解けば座標が出る。(2)(3)は個数の話だから、判別式の出番だ。

「同じ方程式を、解くためにも、個数を数えるためにも使い回す」。この構図を最初につかめば、3つの小問は1本の道の上に並ぶ。

放物線 $y=x^2-2x+3$ と直線 $y=2x+k$ を連立する。

$$x^2-2x+3=2x+k$$

整理して

$$x^2-4x+3-k=0\cdots (\ast )$$

この(★)の解が共有点の $x$ 座標。判別式($b=-4$ 偶数)は

$$\frac{D}{4}=(-2{)}^2-(3-k)=4-3+k=k+1$$

(1) $k=0$ のとき: (★)は

$$x^2-4x+3=0$$

$$(x-1)(x-3)=0x=1,3$$

$y=2x$ に代入して、座標は

$$(1,2),(3,6)$$

(2) 接する($D=0$): $\frac{D}{4}=k+1=0$ から

$$k+1=0k=-1$$

このとき(★)の重解 $x=2$、$y=2\times 2+k=4-1=3$ で接点

$$(2,3)$$

(3) 共有点なし($D<0$): $\frac{D}{4}=k+1<0$ から

$$k+1<0k<-1$$

まとめ:放物線と直線は、連立した2次方程式(★)で扱う。個数の境目は判別式 $D$ を $k$ で表して調べる、が定石だ。

発展 — 一歩先へ。 別解の「差の関数」は、2つのグラフの上下関係を1つの関数の符号に圧縮する見方だ。数学IIで「すべての $x$ でグラフAがグラフBより上」といった条件を扱うとき、この圧縮が標準の第一手になる。

「接する=差の関数が重解を持つ=差の最小値が $0$」という3つの言い換えは、微分で接線を学ぶときにもう一度出会うことになる。

別解

「差の関数」の目で見ると、$k$ の役割がはっきりする。

放物線と直線の差を $h(x)=(x^2-2x+3)-(2x+k)=x^2-4x+3-k$ とおく。共有点は $h(x)=0$ の解だ。

$h$ を平方完成すると $h(x)=(x-2{)}^2-1-k$。最小値は $x=2$ での $-1-k$。

• 最小値が $0$ より下($k>-1$)なら、$h=0$ は2解。2点で交わる。
• 最小値がちょうど $0$($k=-1$)なら重解。接する。接点の $x$ 座標は最小の場所 $x=2$、$y$ は直線に代入して $2\cdot 2-1=3$。
• 最小値が $0$ より上($k<-1$)なら解なし。共有点なし。

直線を上下に動かす $k$ は、差の関数の高さを上下させているだけ。「差の最小値と $0$ の勝負」という1つの図式で、(2)(3)が同時に見える。