解の公式による2次方程式の解法

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 因数分解できないときの最終兵器 — 解の公式。

$$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

代入するだけだが、事故は決まった場所で起きる。

• $-4ac$ の符号: $c$ が負なら $-4ac$ はプラスになる(引き算でなく足し算)
• $2a$ で割る範囲: 分子全体を割る($-b$ だけでなく根号の項も)

(1)の $c=-5$ なら $b^2-4ac=9+20=29$ — マイナスとマイナスで足し算だ。

解の公式を使う。

(1) $a=1,b=3,c=-5$。

$$x=\frac{-3\pm \sqrt{3^2-4\cdot 1\cdot (-5)}}{2\cdot 1}=\frac{-3\pm \sqrt{9+20}}{2}=\frac{-3\pm \sqrt{29}}{2}$$

$-4\cdot 1\cdot (-5)=+20$ の符号に注意($c$ が負なので中が足し算になる)。

(2) $a=1,b=-6,c=4$。$b$ が偶数なので、少し簡単な形になる。

$$x=\frac{-(-3)\pm \sqrt{(-3{)}^2-1\cdot 4}}{1}=3\pm \sqrt{9-4}=3\pm \sqrt{5}$$

(これは $b=2b^{\prime }$ のときの公式 $x=\frac{-b^{\prime }\pm \sqrt{b^{\prime 2}-ac}}{a}$($b^{\prime }=-3$)を使った形。ふつうの公式でも同じ $3\pm \sqrt{5}$ になる。)

(3) $a=2,b=7,c=4$。

$$x=\frac{-7\pm \sqrt{7^2-4\cdot 2\cdot 4}}{2\cdot 2}=\frac{-7\pm \sqrt{49-32}}{4}=\frac{-7\pm \sqrt{17}}{4}$$

まとめ:解の公式は $a,b,c$ を正確に代入し、$b^2-4ac$ の中を1つずつ計算する。$c$ が負のときの符号(足し算になる)に特に注意。

発展 — 一歩先へ。 解の公式は平方完成から導かれる。$a{x}^2+bx+c=0$ を $a$ で割って平方完成すると

$${\left(x+\frac{b}{2a}\right)}^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}$$

両辺の平方根をとれば公式が出る。根号の中の $b^2-4ac$(判別式)は、右辺の分子 — この値が負なら平方根がとれず、実数解が存在しない、という次の問題の話につながる。

公式の $-\frac{b}{2a}$ の部分は、$2$ 次関数の軸の位置そのもの。$2$ 解は「軸から $\pm \frac{\sqrt{D}}{2a}$ だけ離れた $2$ 点」— 解は軸について対称という図形的事実が、公式の形に刻まれている。

別解

$b$ が偶数のときは、根号の中が小さくなる簡易版の公式が使える — 計算量が目に見えて減る。

$a{x}^2+2b^{\prime }x+c=0$($x$ の係数が $2b^{\prime }$ と偶数)のとき

$$x=\frac{-b^{\prime }\pm \sqrt{b^{\prime 2}-ac}}{a}$$

($b^{\prime }=\frac{b}{2}$。$4$ で約分した形だ。)

(2) $x^2-6x+4=0$: $b=-6$ は偶数なので $b^{\prime }=-3$。

$$x=\frac{3\pm \sqrt{9-4}}{1}=3\pm \sqrt{5}$$

根号の中が $5$($\sqrt{20}$ ではなく!)— 約分の手間なしで、既約な形が直接出る。

通常の公式で解くと $x=\frac{6\pm \sqrt{36-16}}{2}=\frac{6\pm \sqrt{20}}{2}=\frac{6\pm 2\sqrt{5}}{2}=3\pm \sqrt{5}$ — $\sqrt{20}=2\sqrt{5}$ の変形と約分が要る。$2$ 手間多い。

$b^{\prime 2}-ac$ の部分は「$\frac{D}{4}$」と呼ばれ、判別式の代わりにそのまま符号判定に使える。$x$ の係数が偶数なら $D/4$ — この反射は、この後の判別式・解の配置の計算をずっと軽くしてくれる。

検算はやはり解と係数の関係で。$(3+\sqrt{5})+(3-\sqrt{5})=6$ ✓、$(3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5})=9-5=4$ ✓。