2次不等式の解法(D=0・D<0の型)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 この4問は、放物線が $x$ 軸と「接する」か「離れている」型だ。最初に型を見極める。

因数分解して2乗の形が出たら、「2乗は $0$ 以上」という事実だけで解が読める。

因数分解できないものは、判別式で「そもそも $x$ 軸と交わらない」と確認する。グラフが常に軸の上(または下)にある絵を思い浮かべれば、答えは「すべての実数」か「解なし」か「1点だけ」のどれかになる。

(1)

$x^2-6x+9=(x-3{)}^2$。

$$(x-3{)}^2>0$$

0になるのは $x=3$ だけなので、$>0$ は $x=3$ 以外のすべての実数。

(2) $4x^2+12x+9=(2x+3{)}^2$。

$$(2x+3{)}^2\le 0$$

$\le 0$ になるのは $=0$ のときだけ。

$$x=-\frac{3}{2}$$

(3)

$x^2-3x+4<0$。判別式を見る。

$$D=(-3{)}^2-4\cdot 1\cdot 4=9-16=-7<0$$

$D<0$ で下に凸なので、この2次式は必ず正。$<0$(負)になることはないので解なし。

(4) $2x^2+x+1>0$。判別式を見る。

$$D=1^2-4\cdot 2\cdot 1=1-8=-7<0$$

$D<0$ で下に凸なので、必ず正。$>0$ はいつも成り立つのですべての実数。

まとめ:$D\le 0$ の型は、$(x-p{)}^2$ の形や判別式で『必ず正か、0になるのはどこか』を見る。答えが『◯以外のすべて』『すべての実数』『解なし』になるのが特徴。

発展 — 一歩先へ。 今日の4つの風景(1点を除く全実数・1点だけ・解なし・全実数)は、2次不等式の「例外パターン」の全カタログだ。ふつうの2交点型と合わせて、これで全種類を見たことになる。

「常に正」を示す2つの道(判別式 $D<0$ と、最小値が正)は、このあと絶対不等式の問題で正面から問われる。両方の道を持っておくと強い。

別解

(3)(4)は、判別式の代わりに平方完成で「最小値」を直接見せる方法もある。

(3) $x^2-3x+4={\left(x-\frac{3}{2}\right)}^2+\frac{7}{4}$。

2乗の部分は $0$ 以上だから、式全体はいつでも $\frac{7}{4}$ 以上。つまり常に正で、$<0$ になる瞬間はない。解なし。

(4) $2x^2+x+1=2{\left(x+\frac{1}{4}\right)}^2+\frac{7}{8}$。いつでも $\frac{7}{8}$ 以上で常に正。$>0$ はすべての実数で成立する。

判別式は「交点があるか」を教えてくれるが、平方完成は「グラフがどの高さに浮いているか」まで教えてくれる。どちらでも結論は同じで、答案ではどちらを使ってもよい。