数学I / 2次方程式・2次不等式

因数分解と解の公式による2次方程式の解法

★★ 標準2次方程式解の公式

問題

次の2次方程式を解け。

(1) $3 x^{2} + 5 x - 2 = 0$

(2) $2 x^{2} - 6 x + 3 = 0$

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(1)は因数分解(たすき掛け)できる形。(2)は $b$ が偶数なので、 $b = 2 b^{'}$ とおくと計算が軽い『 $b^{'}$ の公式』が使える。

解答・解説

(1)は因数分解できる。(2)は因数分解できないので解の公式。 $b$ が偶数( $b = 2 b^{'}$ )のときは、少し簡単な公式 $x = \frac{- b ^{'} \pm b ^{'2} - a c}{a}$ が使える。分母が $a$ になって計算がラクだ。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 2次方程式の方針は2段構えだ。まず因数分解を試す。できなければ解の公式に切り替える。

(2)のように $x$ の係数が偶数なら、 $b = 2 b^{'}$ 用の軽い公式に乗り換えると計算量が半分になる。

どの道具で行くかを最初に決めてから手を動かす。試行錯誤は因数分解の10秒だけでいい。

公式解の公式

x = \frac{- b \pm b ^{2} - 4 a c}{2 a}

(

b = 2 b^{'}

が偶数なら

x = \frac{- b ^{'} \pm b ^{'2} - a c}{a}

)

(1) $3 x^{2} + 5 x - 2$ をたすき掛けで因数分解する。展開して確かめると

$(3 x - 1) (x + 2) = 3 x^{2} + 6 x - x - 2 = 3 x^{2} + 5 x - 2$

合っている。だから

$(3 x - 1) (x + 2) = 0$

$3 x - 1 = 0$ か $x + 2 = 0$ から

$x = \frac{1}{3}, - 2$

(2) $2 x^{2} - 6 x + 3 = 0$ は因数分解できないので解の公式。 $b = - 6$ が偶数なので、 $b = 2 b^{'}$ ( $b^{'} = - 3$ )として使える簡単な公式

$x = \frac{- b ^{'} \pm b ^{'2} - a c}{a}$

を使う。 $a = 2, b^{'} = - 3, c = 3$ を代入して

$x = \frac{3 \pm ( - 3 ) ^{2} - 2 \cdot 3}{2} = \frac{3 \pm 9 - 6}{2} = \frac{3 \pm 3}{2}$

まとめ: $b$ が偶数のときは $b^{'} = \frac{b}{2}$ を使う公式が便利。ふつうの公式より、 $4 a c$ でなく $a c$ で済んで計算が軽い。

発展 — 一歩先へ。 解の公式のの中身 $b^{2} - 4 a c$ には、判別式という名前が付いている。この値の符号だけで「解が2個か、1個か、なしか」が分かる。次の問題の主役だ。

因数分解・平方完成・解の公式は、別々の3つの技ではなく、同じ方程式を攻める3つの顔である。どれからでも同じ答えに着くことを、一度は自分の手で確かめておきたい。

答

(1) $x = \frac{1}{3}, - 2$ (2) $x = \frac{3 \pm 3}{2}$

(2)は、解の公式を忘れても平方完成で解ける。むしろ、これが公式の中身そのものだ。

$2 x^{2} - 6 x + 3 = 0$ の両辺を $2$ で割って $x^{2} - 3 x + \frac{3}{2} = 0$ 。

$x^{2} - 3 x$ の部分を平方完成すると $(x - \frac{3}{2})^{2} = \frac{9}{4} - \frac{3}{2} = \frac{3}{4}$ 。

2乗が $\frac{3}{4}$ だから $x - \frac{3}{2} = \pm \frac{3}{2}$ 。よって $x = \frac{3 \pm 3}{2}$ 。

解の公式は、この平方完成を一般の $a x^{2} + b x + c = 0$ で一度だけやった結果を暗記しているにすぎない。公式がど忘れしても、この道順さえ覚えていれば現場で復元できる。