2次不等式の解法(基本)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $2$ 次不等式は、グラフのどこが $x$ 軸より上(下)かを読む問題だ。

手順は $3$ 段。

1. $=0$ とおいて解く(因数分解で交点を求める)
2. グラフの概形(下に凸か上に凸か)を描く
3. 不等号に合う範囲を読む — $<0$ なら $x$ 軸より下、$>0$ なら上

下に凸なら「$<0$ は $2$ 解の間、$>0$ は外側」。(3)のように $x^2$ の係数が負なら、まず $-1$ 倍して正にする(不等号の向きが反転)。

(1)

$x^2-x-12<0$。因数分解すると $(x+3)(x-4)$ で、交点は $x=-3,4$。

$$(x+3)(x-4)<0$$

下に凸の放物線で、$y<0$(負)になるのは2交点の内側。

$$-3<x<4$$

(2)

$x^2+2x-15\ge 0$。交点は $x=-5,3$。

$$(x+5)(x-3)\ge 0$$

$y\ge 0$(0以上)になるのは2交点の外側(交点も含む)。

$$x\le -5,3\le x$$

(3)

$-x^2+5x-4>0$ は $x^2$ の係数が負。両辺に $-1$ をかけて(不等号の向きが逆になる)$x^2-5x+4<0$ にする。

$$x^2-5x+4<0$$

因数分解すると

$$(x-1)(x-4)<0$$

$y<0$ は交点 $x=1,4$ の内側。

$$1<x<4$$

まとめ:2次不等式は『$=0$ で交点を求め、放物線を見て正・負の範囲を読む』。$<0$ は内側(間)、$>0$ は外側(2つ)。$x^2$ の係数が負なら、先に $-1$ をかけて向きを直す。

発展 — 一歩先へ。 「$<0$ は間、$>0$ は外」という覚え方は、下に凸のとき限定だ。上に凸(3)なら逆になる — だから $-1$ 倍して下に凸に揃えるのが安全策。$-1$ 倍で不等号が反転することを忘れなければ、常に「間か外か」の $1$ つのルールで済む。

$2$ 次不等式は、$2$ 次関数のグラフの知識がそのまま使われる場面だ。方程式は「点」を、不等式は「範囲」を求める — この対比は $1$ 次でも $3$ 次でも同じ構図で、「方程式を解いてから、不等式の範囲を読む」という $2$ 段構えは、あらゆる不等式の基本形である。

別解

グラフを描かず、因数の符号表で機械的に解く方法もある。

$x^2-x-12=(x+3)(x-4)$ の符号を、$x$ の値ごとに調べる。$2$ つの因数が符号を変えるのは $x=-3$ と $x=4$ — この $2$ 点で数直線を $3$ 区間に割る。

$<0$(積が負)になるのは真ん中の区間 — 答えは $-3<x<4$ ✓。

表の「$+-+$」というパターンに注目したい。下に凸の放物線は、必ず「正・負・正」の $3$ 区間に分かれる — グラフの絵と表が完全に一致する。

この符号表の強みは、$3$ 次以上でも同じ手順が使えること。$(x-1)(x-2)(x-3)>0$ のような $3$ 次不等式でも、$3$ 点で区間を割って各因数の符号を追えば、機械的に答えが出る(数IIで学ぶ)。

グラフ派か表派かは好みだが、「解の間か外か」を暗記するのではなく、符号を追って導く習慣をつけておくと、$x^2$ の係数が負のとき(上に凸)にも迷わない — 表なら $-1$ 倍せずにそのまま処理できる。