円の条件のもとでの2次式の最大・最小

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 条件 $x^2+y^2=1$ に $y^2$ がそのまま入っている — $y^2=1-x^2$ を丸ごと代入すれば1変数になる。

$x+y^2=x+1-x^2$、$x$ の2次関数だ。

見落としやすいのは範囲: $y^2=1-x^2\ge 0$ から $-1\le x\le 1$。閉区間つきの最大最小として、頂点 $x=\frac{1}{2}$(区間内)と両端を比べる。

① 代入して $2$ 次関数に。 $y^2=1-x^2$ より $$x+y^2=x+1-x^2=-{\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{5}{4}.$$ ② $x$ の範囲。 $y^2=1-x^2\ge 0$ より $-1\le x\le 1$。

③ 最大・最小。 上に凸で頂点 $x=\frac{1}{2}$(範囲内)。

• 最大:頂点 $x=\frac{1}{2}$ で $\frac{5}{4}$($y^2=\frac{3}{4}$)。
• 最小:頂点から遠い端。$x=-1$ で $-1+0=-1$、$x=1$ で $1+0=1$。よって $x=-1$ で最小 $-1$。

まとめ $y^2=1-x^2$ を代入して $x+y^2=-{\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{5}{4}$($-1\le x\le 1$)。最大 $\frac{5}{4}$(頂点)、最小 $-1$(端)。$2$ 次方程式(円の条件)と $2$ 次関数の融合。$x$ の範囲を忘れると誤答。

発展 — 一歩先へ。 「$f(x,y)=k$ の族(等高線)が条件の曲線に接するとき最値」という構図は、直線族なら線形計画法、円の族なら距離の最大最小、そして本問のように放物線族でも同じに働く。数IIIの言葉では「勾配が平行」(ラグランジュの乗数法の芽)。条件つき最大最小を見たら、等高線を1本描いて滑らせる — 代入計算の答えを図で検算する習慣が、応用への橋になる。

別解

「横向き放物線が円に触れる」と読む(定数分離の図形版)。 $x+y^2=k$ とおくと、これは横向きの放物線 $x=k-y^2$(左に開く、頂点 $(k,0)$)。

$k$ の値がとりうる ⟺ この放物線が円 $x^2+y^2=1$ と共有点をもつ。$k$ を動かすと放物線は左右に平行移動する:

• $k$ を大きくしていくと、最後は円の右のふくらみに接して離れる — そこが最大 $k=\frac{5}{4}$(接点は $x=\frac{1}{2}$ の2点)
• $k$ を小さくすると、最後は点 $(-1,0)$ で円をかすめて離れる — 最小 $k=-1$

1文字消去(本解)は計算で確実に、図形の読みは「最大・最小=接する瞬間」という構図で。等高線($x+y^2=k$ の族)が条件の曲線に触れるところで最値が起きる — この見方は、線形計画法や軌跡・領域の最大最小と同じ骨格だ。