2次不等式の整数解がちょうど3個

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $a>1$ だから、不等式 $(x-1)(x-a)\le 0$ の解は閉区間 $1\le x\le a$。

問題は「この区間に整数がちょうど3個入る $a$ の範囲」に変わった。入る整数は左端から $1,2,3,\dots$ と決まっていく。

「$3$ が入る」ためには $a\ge 3$、「$4$ が入らない」ためには $a<4$ — 境界の等号をどちらに入れるかが、この問題の採点ポイントのすべてだ。

① 解を求める。 $a>1$ より $(x-1)(x-a)\le 0$ の解は $1\le x\le a$。

② 整数の個数。 この区間の整数は $1$ から始まる。$3$ 個($1,2,3$)になるには、$3$ を含み($a\ge 3$)、$4$ を含まない($a<4$)。

③ 範囲。 $$3\le a<4.$$ (例:$a=3$ なら $1\le x\le 3$ で整数 $1,2,3$ の $3$ 個。$a=4$ なら $4$ も入り $4$ 個で不適。)

まとめ 解 $1\le x\le a$ に整数 $1,2,3$ が入り $4$ が入らない条件で $3\le a<4$。端点の含む・含まないを丁寧に見るのが要。$2$ 次不等式と整数解(パラメータ)の融合。

発展 — 一歩先へ。 「区間 $[1,a]$ の整数の個数 $=[a]$」のように、個数を床関数で書く習慣は、$1$ から $N$ までの $k$ の倍数の個数 $=\left[\frac{N}{k}\right]$ など、数え上げ全般の共通言語になる。また「ちょうど $n$ 個 ⟺ $n\le a<n+1$」の半開区間が答えになる構図は、この型の答えの形の合図 — 等号の側を毎回導出せず、$[a]=n$ の定義で言い切れるようになると速い。

別解

個数を式にする(床関数で1行)。 $a\ge 1$ のとき、区間 $[1,a]$ に入る整数の個数は

$$N(a)=[a](\text{ガウス記号}:a\text{を超えない最大の整数})$$

($1$ から $[a]$ までの整数がちょうど入る。)よって「ちょうど3個」は

$$[a]=3⟺3\le a<4$$

— 定義から即答できる。

数直線で1個ずつ確かめる(本解)のが基礎体力、床関数は「個数の言い換え」を1つの記号に圧縮した省略記法。ちょうど $n$ 個なら $n\le a<n+1$ と、一般の $n$ でも同じ式が立つ。境界の等号($a=3$ は入る側、$a=4$ は入らない側)が、$[a]$ の定義に正しく織り込まれていることも確かめておこう。