数学I / 2次方程式・2次不等式

絶対不等式(すべての実数で成り立つ条件)

★ 基礎絶対不等式判別式

問題

すべての実数 $x$ に対して、2次不等式 $x^{2} + m x + m + 3 > 0$ が成り立つような定数 $m$ の値の範囲を求めよ。

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『すべての実数で $> 0$ 』は『下に凸のグラフが $x$ 軸と一度も交わらない』と同じ — つまり $D < 0$ 。 $D$ を $m$ で表して $D < 0$ を解く。 $x^{2}$ の係数が正であることも確認。

解答・解説

方針

『すべての実数 $x$ で成り立つ』という条件は、絶対不等式という。 $x^{2} + m x + m + 3 > 0$ が、どんな $x$ でも正になるには、放物線が $x$ 軸より上に完全に浮いていればよい。

下に凸の放物線が $x$ 軸と交わらない(共有点0個)条件は、判別式 $D < 0$ 。だから $D < 0$ を $m$ について解く。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「すべての実数 $x$ で $> 0$ 」— これはグラフが常に $x$ 軸より上にある、ということ。

条件は $2$ つ。

下に凸( $x^{2}$ の係数が正)— 今回は係数 $1$ で自動的に満たす
$x$ 軸と交わらない( $D < 0$ )— 谷底が浮いている

$D = m^{2} - 4 (m + 3) < 0 ⟹ m^{2} - 4 m - 12 < 0$

$D ≦ 0$ ではないことに注意。 $D = 0$ だと接してしまい、その接点で $y = 0$ となって「 $> 0$ 」が破れる。

「すべての実数 x で y > 0」⇔ グラフ全体が x 軸より上 ⇔ D < 0

$x^{2} + m x + m + 3 > 0$ が『すべての実数 $x$ で成り立つ』とは、下に凸の放物線が $x$ 軸より上に浮いていて、 $x$ 軸と交わらないということ。

公式すべての実数で

a x^{2} + b x + c > 0

(

a > 0

)

⟺

D < 0

(下に凸で

x

軸と交わらない)

共有点0個の条件は

$D < 0$

判別式 $D$ を計算する。 $a = 1, b = m, c = m + 3$ なので

$D = m^{2} - 4 (m + 3) = m^{2} - 4 m - 12$

$D < 0$ より

$m^{2} - 4 m - 12 < 0$

左辺を因数分解する。

$(m - 6) (m + 2) < 0$

$< 0$ は内側なので

$- 2 < m < 6$

まとめ:『すべての実数で $> 0$ 』は『下に凸で $x$ 軸と交わらない』= $D < 0$ 、と翻訳する。 $x^{2}$ の係数が正(下に凸)であることも確認する(ここでは1で正)。

発展 — 一歩先へ。 この問題では $x^{2}$ の係数が $1$ (正)と決まっていたが、係数にも文字が入る場合( $a x^{2} + b x + c > 0$ が常に成立する $a, b, c$ の条件)は、「 $a > 0$ かつ $D < 0$ 」の $2$ 条件が要る。 $a$ の符号を確認せずに $D$ だけ見ると、上に凸(常に負)の場合を見逃す — 凸の向きの確認は必須の第 $1$ 手である。

「すべての $x$ で成り立つ」という条件を、判別式という $1$ つの数の符号に翻訳する — この圧縮の鮮やかさが、 $2$ 次関数の理論の力だ。無限個の $x$ についての主張が、 $m$ についての $2$ 次不等式 $1$ 本に化けている。

答

$- 2 < m < 6$

別解

「 $D < 0$ か $D ≦ 0$ か」は、境界の $m$ を実際に試すと一発で決着する。

$D = m^{2} - 4 m - 12 = (m - 6) (m + 2)$ の境界は $m = 6$ と $m = - 2$ 。

$m = 6$ を元の不等式に代入してみる。

$x^{2} + 6 x + 9 = (x + 3)^{2} > 0$

$x = - 3$ のとき $(x + 3)^{2} = 0$ — $0$ は $0$ より大きくない。だから「すべての $x$ で $> 0$ 」は破れる ✗

$m = 6$ は答えに含めてはいけない — つまり $D = 0$ は除外、条件は $D < 0$ だと確定した。

もし問題が「すべての $x$ で $≧ 0$ 」なら、 $m = 6$ でも $(x + 3)^{2} ≧ 0$ は成立するので、条件は $D ≦ 0$ になる。不等号に等号が入るかどうかが、 $D$ の条件の等号と連動する。

$「常に > 0 」 ⟺ D < 0, 「常に ≧ 0 」 ⟺ D ≦ 0$

範囲内の値でも確かめよう。 $m = 0$ なら $x^{2} + 3 > 0$ — 確かに常に成立 ✓。

境界を代入して破れるか試す — この $1$ 分の作業が、等号の有無という最頻の減点を確実に防ぐ。 $m$ の範囲を求める問題では、必ず境界を吟味する習慣をつけたい。

ポイント

『すべての実数で $> 0$ 』→ 下に凸で $x$ 軸と交わらない → $D < 0$
$x^{2}$ の係数が正(下に凸)であることを確認
$D < 0$ を $m$ の不等式にして解く

よくある間違い

$D \leq 0$ としてしまう( $D = 0$ だと接して $= 0$ の点ができ、 $> 0$ が破れる)
$x^{2}$ の係数の符号を確認しない
$D$ の計算で $c = m + 3$ の代入を誤る( $- 4 \times (m + 3) = - 4 m - 12$ )