放物線と直線の共有点

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「$2$ つのグラフの共有点」は、連立して解く。$y$ を消去すれば $x$ の $2$ 次方程式になる。

(1) $x^2+2x-3=x+3$ を整理して

$$x^2+x-6=0$$

この方程式の実数解の個数が、そのまま共有点の個数。判別式で判定してもいいし、因数分解できるなら解いてしまえばよい。

$x$ が出たら、$y$ 座標も忘れずに求める — 直線の式に代入するのが楽だ($1$ 次式なので計算が軽い)。

(1)

放物線 $y=x^2+2x-3$ と直線 $y=x+3$ を連立する。$y$ を消して

$$x^2+2x-3=x+3$$

整理して

$$x^2+x-6=0(x+3)(x-2)=0$$

$x=-3,2$ の2解。共有点は2個。$y$ は直線の式 $y=x+3$ に代入して、$x=-3$ で $y=0$、$x=2$ で $y=5$。座標は $(-3,0)$、$(2,5)$。

(2)

放物線 $y=x^2+4x+5$ と直線 $y=2x+4$ を連立する。

$$x^2+4x+5=2x+4$$

整理して

$$x^2+2x+1=0(x+1{)}^2=0$$

$x=-1$ の重解。共有点は1個(接する)。$y=2\times (-1)+4=2$。座標は $(-1,2)$。

まとめ:放物線と直線の共有点は『2式を連立してできる2次方程式の解』。個数は解の個数(判別式)、座標は $x$ を式に代入して $y$ を求める。

発展 — 一歩先へ。 「接する」という関係は、数IIの接線の話につながる。「放物線に接する直線を求めよ」という問題は、直線 $y=mx+n$ とおいて連立し、$D=0$ となる条件を課す — 今回の(2)の逆問題だ。$D=0$ は接線を特徴づける方程式なのである。

数IIIでは微分を使って接線を求めるようになるが、$2$ 次曲線に限れば $D=0$ の方が速いことも多い。「判別式で接線」は、円と直線の接する条件(数II)でも同じ形で使われる — $2$ 次の世界の万能ツールである。

別解

(2)の $D=0$ は「接する」— この特別な関係を、絵と式の両面で押さえておこう。

$x^2+4x+5=2x+4$ を整理すると

$$x^2+2x+1=(x+1{)}^2=0$$

完全平方になった。重解 $x=-1$ — これは「放物線と直線が $1$ 点で触れ合う」ことを意味する。直線は放物線の接線だ。

$D=0$ ⟺ 完全平方 ⟺ 接する — $3$ つの言い方は同じ事実である。

接点の座標は $x=-1$ を直線に代入して $y=2(-1)+4=2$ → $(-1,2)$。放物線に代入しても $1-4+5=2$ ✓ — 両方に代入して一致を確認すれば、計算ミスが捕まる(共有点なのだから、当然どちらでも同じ値になるはずだ)。

「$2$ 次方程式の解の個数」と「グラフの交点の個数」は完全に対応する — この対応は $x$ 軸との交点(前問)だけでなく、任意の直線との交点でも成り立つ。$x$ 軸は「$y=0$ という直線」の特別な場合にすぎなかったのだ。

さらに一般に、$2$ 曲線の交点は「連立方程式の解」— 円と直線、$2$ つの放物線でも同じ手順(連立 → 消去 → 判別式)が通用する。共有点問題の万能手順として身につけたい。