解の配置(異なる2つの正の解)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「異なる2つの正の解」を、グラフの絵に翻訳する。下に凸の放物線が、$x$ 軸の正の部分で2回交わる絵だ。

絵を式の条件に分解すると3つになる。①そもそも2回交わる($D>0$)。②山場が右半分にある(軸 $>0$)。③左端の高さが正($f(0)>0$)。

3条件は絵の各パーツに対応している。図とセットで覚えれば、丸暗記にならない。

$f(x)=x^2-2mx+m+2$ のグラフ(下に凸の放物線)が、$x$ 軸の正の部分で異なる2点で交わればよい。それには3つが同時に要る。

① 異なる2解 → $D>0$: グラフが $x$ 軸と2点で交わる、ということ。$b=-2m$ 偶数なので

$$\frac{D}{4}=(-m{)}^2-(m+2)=m^2-m-2=(m+1)(m-2)$$

$>0$ より $m<-1$ または $m>2$。

② 2解とも正 → 軸が正: 2つの交点の"まん中"が軸。交点が両方とも正なら、そのまん中も正。平方完成すると

$$f(x)=(x-m{)}^2-m^2+m+2$$

軸は $x=m$。これが正、つまり $m>0$。

③ $f(0)>0$: ここが一番忘れやすい。①②だけでは、まだ「2解がともに $0$ より右」とは言い切れない(片方が $0$ の左に食い込むこともある)。そこで $x=0$ での高さ $f(0)$ が正であることを要求する。下に凸の放物線が $x=0$ で $x$ 軸より上にあるなら、$x=0$ は2つの交点より左側にある。つまり 2つの解はどちらも $0$ より右＝正になる。これで初めて「2解とも正」が保証される。

$$f(0)=m+2>0\Rightarrow m>-2$$

まとめ:3つ($m<-1$ または $m>2$)かつ($m>0$)かつ($m>-2$)の共通範囲は $m>2$。「異なる2つの正の解」は $D>0$(2点で交わる)・軸 $>0$(まん中が正)・$f(0)>0$($x=0$ が2解の左)の3つで、$x$ 軸との交わり方をグラフで思い浮かべると3条件の意味がつながる。

発展 — 一歩先へ。 「2つの負の解」なら軸 $<0$ と $f(0)>0$、「異符号の解」なら次の問題のように $f(0)<0$ の1本だけ。配置のパターンごとに条件セットが変わる。丸暗記でなく、毎回絵から条件を組み立てる練習をしておくと、初見の配置にも対応できる。

別解の和と積の言葉は、数学IIの解と係数の関係で正式に手に入る。グラフの言葉との対応表を自分で作っておくと、両者が同じことを言っていると分かる。

別解

2つの解を $\alpha$、$\beta$ として、「和と積」で条件を書く方法もある(数学IIで学ぶ解と係数の関係の先取りだ)。

$x^2-2mx+m+2=0$ を因数分解した形 $(x-\alpha )(x-\beta )=0$ を展開して見比べると、$\alpha +\beta =2m$、$\alpha \beta =m+2$ と読み取れる。

2つの解がともに正である条件は、「和が正、かつ積が正」と言い換えられる(和と積が両方正になるのは、両方正のときだけだ)。

• 異なる2実解: $D/4=m^2-(m+2)>0$ → $(m-2)(m+1)>0$ → $m<-1$ または $m>2$
• 和が正: $2m>0$ → $m>0$
• 積が正: $m+2>0$ → $m>-2$

3つの共通部分は $m>2$。グラフの3条件(軸・端点)と、代数の3条件(和・積)が同じ答えに着く。2つの言語を行き来できると、検算にもなる。