解を用いた次数下げ(高次の値)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $(1+\sqrt{2}{)}^4$ を二項定理で展開してもよいが、この問題は関係式で次数を下げる技の練習だ。

$\alpha$ は $x^2-2x-1=0$ の解、つまり ${\alpha }^2=2\alpha +1$。2乗が出るたびに1次に置き換えられる。

${\alpha }^3=\alpha \cdot {\alpha }^2=\alpha (2\alpha +1)=2{\alpha }^2+\alpha =5\alpha +2$、${\alpha }^4=\alpha \cdot {\alpha }^3=5{\alpha }^2+2\alpha =12\alpha +5$。最後に $\alpha =1+\sqrt{2}$ を1回だけ代入する。

① 関係式。 ${\alpha }^2-2\alpha -1=0$ より ${\alpha }^2=2\alpha +1$。

② 次数下げ。 $${\alpha }^3=\alpha \cdot {\alpha }^2=\alpha (2\alpha +1)=2{\alpha }^2+\alpha =2(2\alpha +1)+\alpha =5\alpha +2,$$ $${\alpha }^4=\alpha \cdot {\alpha }^3=\alpha (5\alpha +2)=5{\alpha }^2+2\alpha =5(2\alpha +1)+2\alpha =12\alpha +5.$$ ③ 値を代入。 $\alpha =1+\sqrt{2}$ を入れて $${\alpha }^4=12(1+\sqrt{2})+5=17+12\sqrt{2}.$$ (検算:$(1+\sqrt{2}{)}^2=3+2\sqrt{2}$、$(3+2\sqrt{2}{)}^2=9+12\sqrt{2}+8=17+12\sqrt{2}$。)

まとめ ${\alpha }^2=2\alpha +1$ で次数を下げ、${\alpha }^4=12\alpha +5$、代入して $17+12\sqrt{2}$。$2$ 次方程式(次数下げ)と無理数の融合。高次の計算を根号なしで進められる。

発展 — 一歩先へ。 次数下げ ${\alpha }^n=p_n\alpha +q_n$ の係数は $p_{n+1}=2p_n+q_n,q_{n+1}=p_n$ という漸化式で育ち、$(p_n)=1,2,5,12,29,\dots$ はペル数列(\ $\sqrt{2}$ の近似分数の分母)になる。「$\alpha$ の世界の計算=最小多項式で割った余りの計算」という見方は、多項式の合同・複素数 $i$ の計算($i^2=-1$ で次数下げ)・さらに大学の体論まで、一本道でつながっている。

別解

直接2乗を2回(愚直も3行で終わる)。 4乗は「2乗の2乗」だから、素直に計算しても短い。

$${\alpha }^2=(1+\sqrt{2}{)}^2=1+2\sqrt{2}+2=3+2\sqrt{2}$$

$${\alpha }^4=(3+2\sqrt{2}{)}^2=9+12\sqrt{2}+8=17+12\sqrt{2}$$

次数下げ(本解)と同じ答えに、展開2回で着く。

では次数下げの価値はどこにあるか — 指数が大きいときだ。${\alpha }^{10}$ を直接2乗で追うと係数が育って辛いが、次数下げなら「${\alpha }^n=p_n\alpha +q_n$ の係数の漸化式($p_{n+1}=2p_n+q_n,q_{n+1}=p_n$)」を回すだけで機械的に届く。小さい指数は愚直に、大きい指数は関係式で — 使い分けの感覚ごと持ち帰りたい。