2つの解が1をはさむ条件

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「$1$ より小さい解と大きい解を $1$ つずつ」= $x=1$ が $2$ 交点の間にある。下に凸のグラフでこれを言い換えると、$x=1$ でグラフが $x$ 軸より下、すなわち $f(1)<0$。

驚くべきことに、この $1$ 条件だけで決まる。$f(1)<0$ なら、放物線は $x=1$ の左右で必ず $x$ 軸を $1$ 回ずつ横切る(下に凸で最下点が負)から、判別式や軸の条件は自動的に満たされる。

$f(1)=1+(a-2)+a=2a-1<0$ を解いて $a<\frac{1}{2}$。

① 条件を書く。 $f(x)=x^2+(a-2)x+a$。$x=1$ が $2$ 解の間にあるのは $f(1)<0$。

$$f(1)=1+(a-2)+a=2a-1$$

② 解く。 $f(1)=2a-1<0$ より

$$a<\frac{1}{2}$$

このとき $f(1)<0$ なので、下に凸のグラフは $x=1$ の左右で $x$ 軸を $1$ 回ずつ横切り、確かに $1$ より小さい解と大きい解を $1$ つずつもつ(判別式の確認は不要)。

まとめ:「$1$ が $2$ 解の間」は、下に凸なら $f(1)<0$ の $1$ 本だけ。$2$ つの解が特定の値をはさむ配置は、その値での関数の符号がすべてを決める。判別式や軸の条件が要らない、いちばん軽い解の配置。

発展 — 一歩先へ。 $f(k)<0$($a>0$)$⟺$「$k$ が $2$ 解の間」は、因数分解 $f(x)=a(x-\alpha )(x-\beta )$ に $x=k$ を入れた $f(k)=a(k-\alpha )(k-\beta )$ の符号で決まる。$1$ 点の符号だけで解の配置が分かるこの手は、$3$ 次以上でも「$f(k)$ の符号で $k$ が何番目の解の間か」を判定するのに使える。

別解

別解 — $2$ 解が $1$ をはさむ $⟺$ $(\alpha -1)(\beta -1)<0$(解と係数のルート)。 「$\alpha <1<\beta$」を、解と係数の関係で書く。$1$ より小さい解と大きい解を $1$ つずつもつ $⟺$ $(\alpha -1)(\beta -1)<0$($1$ からのずれが異符号)。

展開すると $(\alpha -1)(\beta -1)=\alpha \beta -(\alpha +\beta )+1$。解と係数の関係で $\alpha \beta =a$、$\alpha +\beta =-(a-2)=2-a$ だから

$$(\alpha -1)(\beta -1)=a-(2-a)+1=2a-1.$$

これが負、すなわち $2a-1<0$ で $a<\frac{1}{2}$。

$f(1)<0$(本解)と全く同じ式 $2a-1<0$ に着く。実は $f(1)=(\alpha -1)(\beta -1)$(因数分解 $f(x)=(x-\alpha )(x-\beta )$ に $x=1$)なので、「$f(1)<0$」と「$(\alpha -1)(\beta -1)<0$」は同じこと。$2$ 解が定数をはさむ条件は、この積の符号で一発だ。