2つの2次方程式の共通解

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「共通解」は、まず名前をつける。それを $\alpha$ とおく。

$\alpha$ は両方の式を満たすから、$2$ つの式に代入すれば、$\alpha$ と $k$ の連立に変わる。

ここで $2$ つの式が、$x^2$ の係数まで同じことに注目する。

辺々を引けば $2$ 次の項が消え、$\alpha$ の $1$ 次式に落ちる。「引き算で次数を下げる」のが急所だ。

① 共通解を $\alpha$ とおいて、両方の式に代入する。 共通解を $\alpha$ とおくと、両方の式を満たすので

$${\alpha }^2+k\alpha +1=0,{\alpha }^2+\alpha +k=0$$

② 辺々引いて、$\alpha$(と $k$)を求める。 2つを辺々引くと、${\alpha }^2$ が消えて $\alpha$ の1次式になる。

$$(k-1)\alpha +(1-k)=0\text{すなわち}(k-1)(\alpha -1)=0$$

ここから $k=1$ または $\alpha =1$。

③ $k$ の各場合を吟味する(実数解をもつか)。 $k=1$ のとき、元の方程式は両方 $x^2+x+1=0$ になるが、判別式が

$$D=1^2-4\cdot 1\cdot 1=-3<0$$

で実数解をもたない。だから $k=1$ は不適。

$\alpha =1$ のとき、$\alpha =1$ を1つ目の式 ${\alpha }^2+k\alpha +1=0$ に入れると $1+k+1=0$、$k=-2$。このとき2つの方程式は

$$x^2-2x+1=0\text{すなわち}(x-1{)}^2=0\text{と}{x}^2+x-2=0\text{すなわち}(x-1)(x+2)=0$$

となり、確かに $x=1$ が共通解(ただ1つ)。よって

$$k=-2,\text{共通解 }x=1$$

まとめ:共通解は『$\alpha$ とおいて両方に代入 → 引いて $\alpha$ を求める → $k$ を決めて検算』。$k=1$ のような不適な場合を必ず吟味するのがポイントだ。

発展 — 一歩先へ。 $2$ つの多項式が共通解をもつかどうかは、片方からもう片方を引いて次数を下げる操作で、いつでも調べられる。

これは整数の最大公約数を互除法で求めるのと、まったく同じ仕組みだ。多項式どうしにも互除法があり、共通因数($=$ 共通解)を割り出せる。

一般には、$2$ つの多項式が共通解をもつ条件は「終結式」と呼ばれる式が $0$ になること、とまとめられる。ただし共通解が実数かどうかは別に確かめる必要がある。実際この問題でも、$k=1$ は複素数の共通解しか生まないので外れた。

別解

別解 — 文字 $k$ を消してしまう(得意な人向けの視点)。 $\alpha$ を引き算で消す本解とは逆に、こんどは定数 $k$ のほうを消す。

$2$ つ目の式 $x^2+x+k=0$ を $k$ について解くと $k=-(x^2+x)$。これを $1$ つ目の式 $x^2+kx+1=0$ に代入する。

$$x^2-(x^2+x)x+1=x^2-x^3-x^2+1=1-x^3.$$

つまり $1-x^3=0$、すなわち $x^3=1$。実数解は $x=1$ ただ $1$ つだ。

$x=1$ を $k=-(x^2+x)$ に戻すと $k=-(1+1)=-2$。

$k$ を消すと、共通解の候補が $x^3=1$ という気持ちのよい形で $1$ つに定まる。場合分けや吟味をせずに、$k=-2$、共通解 $x=1$ という本解と同じ答えに届く。