3つの値のどれかは 1/2 以上

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 係数 $(1,-2,1)$ の組合せは「2階の差」(差の差)だ。1次式 $px+q$ に施すと必ず0になる。$x^2$ の成分だけが $1-8+9=2$ と生き残る。つまり $f(1)-2f(2)+f(3)=2$ は、$p,q$ によらない不変量である。

(2)はその逆用だ。もし3つの値がすべて $\frac{1}{2}$ 未満なら、三角不等式で

$$2=|f(1)-2f(2)+f(3)|\le |f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|<\frac{1}{2}+1+\frac{1}{2}=2$$

となり、「2が2未満」という矛盾が出る。どんなに係数を調整しても、放物線は3点 $x=1,2,3$ すべてで軸の近くに潜ることはできない。曲がり(2次の係数1)が邪魔をするのだ。

① (1) を示す。 各成分ごとに計算する:

$$x^2\text{の成分}:1-2\cdot 4+9=2,px\text{の成分}:p(1-4+3)=0,q\text{の成分}:q(1-2+1)=0$$

よって $f(1)-2f(2)+f(3)=2$。

② (2) を背理法で示す。 3つとも $\frac{1}{2}$ 未満と仮定する。三角不等式より

$$2=|f(1)-2f(2)+f(3)|\le |f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|<\frac{1}{2}+2\cdot \frac{1}{2}+\frac{1}{2}=2$$

$2<2$ となって矛盾。よって少なくとも1つは $\frac{1}{2}$ 以上である。

③ 評価の鋭さ。 $\frac{1}{2}$ は改良できない。実際、$f(x)=x^2-4x+\frac{7}{2}$ は $f(1)=\frac{1}{2},f(2)=-\frac{1}{2},f(3)=\frac{1}{2}$ となる。3点で交互に $\pm \frac{1}{2}$ をとる、等号ぎりぎりの「振動する放物線」が実在するのだ。

まとめ: $(1,-2,1)$ の重みで1次以下を消し、2次の曲がりを不変量として取り出す。あとは三角不等式で逆算する。「多項式の値は同時に小さくできない」という近似理論の入り口に立つ名問だ。

発展 — 一歩先へ。 実は3つの点だけでなく、区間 $1\le x\le 3$ 全体でも $|f(x)|<\frac{1}{2}$ にはできない。③の等号例がぎりぎりの限界で、これより潜ろうとすると区間のどこかが $\frac{1}{2}$ 以上になる。「係数1の多項式は、区間の上でどこまで0の近くに潜れるか」。この問いはチェビシェフ多項式という理論の入り口で、本問はその2次版にあたる。

別解

3点の値が式を決める、という逆向きの視点(得意な人向け)。 2次式は3点での値で完全に決まる。逆に言うと、$f(1),f(2),f(3)$ の3つの値は自由に選べない。

実際、どんな2次式 $a{x}^2+bx+c$ でも

$$x^2\text{の係数}a=\frac{f(1)-2f(2)+f(3)}{2}$$

が成り立つ。展開すれば $a(1-8+9)/2=a$ で、1次以下は消えるからだ。本問は $a=1$ なので $f(1)-2f(2)+f(3)=2$。(1)の等式は「3つの値は、曲がり具合に縛られている」ことの表現だったのである。

係数の組 $(1,-2,1)$ の出どころも、この見方なら種明かしできる。3つの値をすべて幅 $\pm \frac{1}{2}$ の箱に押し込んでみる。作れる「曲がり」は $\frac{1}{2}+2\cdot \frac{1}{2}+\frac{1}{2}=2$ 未満にしかならない。係数1(曲がり2)に届かない。それが(2)の正体だ。