実数解の制約つきの対称式の最小

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 解と係数の関係で ${\alpha }^2+{\beta }^2$ を $k$ の2次関数にする。ここまでは定石どおりだ。

罠は定義域にある。$\alpha ,\beta$ が実数であるためには判別式 $\ge 0$ が必要で、$k$ は $k\le -1$ または $k\ge 2$ しか動けない。ところが $k$ の2次関数の頂点 $k=\frac{1}{4}$ は、このすき間(禁止帯)のド真ん中にある。頂点の値を答えたら即アウトだ。それは ${\alpha }^2+{\beta }^2<0$ という、あり得ない値である。

放物線の増減を見て、禁止帯の両端 $k=-1,2$ の値比べで最小を決める。

① 対称式を $k$ で表す。 解と係数の関係より $\alpha +\beta =2k,\alpha \beta =k+2$。

$${\alpha }^2+{\beta }^2=(\alpha +\beta {)}^2-2\alpha \beta =4k^2-2k-4$$

② 定義域(判別式)。

$$\frac{D}{4}=k^2-(k+2)=k^2-k-2=(k+1)(k-2)\ge 0⟺k\le -1\text{または}k\ge 2$$

③ 定義域の上で最小化する。 $g(k)=4k^2-2k-4$ の頂点は $k=\frac{1}{4}$。定義域の外だ。放物線は頂点より左では減少だから、$k\le -1$ では右端 $k=-1$ で最小。$k\ge 2$ では左端 $k=2$ で最小。値を比べると

$$g(-1)=4+2-4=2,g(2)=16-4-4=8$$

よって最小値は $2$($k=-1$ のとき)。検算しよう。このとき方程式は $x^2+2x+1=0$ で、$\alpha =\beta =-1$。たしかに ${\alpha }^2+{\beta }^2=2$ ✓。

まとめ: 「解と係数で表す」と「判別式で定義域を切る」はワンセットだ。忘れると頂点値 $-\frac{17}{4}$ という負の平方和(あり得ない!)を答えてしまう。答えの検算まで戻って確かめる癖が、この罠を二重に防いでくれる。

別解

$k$ を消して、解の世界だけで考える(得意な人向け)。 $s=\alpha +\beta =2k,p=\alpha \beta =k+2$ から $k$ を消去すると

$$p=\frac{s}{2}+2$$

これが $\alpha ,\beta$ に課された条件の正体だ。パラメータ $k$ はもう要らない。

実数 $\alpha ,\beta$ が存在する条件は $s^2\ge 4p=2s+8$。整理すると $(s-4)(s+2)\ge 0$ で、$s\le -2$ または $s\ge 4$。目標の量は

$${\alpha }^2+{\beta }^2=s^2-2p=s^2-s-4$$

この $s$ の2次関数の頂点 $s=\frac{1}{2}$ も、やはり許される範囲の外。端で比べて $(-2{)}^2-(-2)-4=2$、$4^2-4-4=8$。最小値 $2$($s=-2$、すなわち $\alpha =\beta =-1$)。

「パラメータを消して、残った変数どうしの直接の拘束にする」。この発想は文字の多い問題全般で効く。本解と同じ罠(頂点が圏外)が $s$ の世界でも同じ姿で現れるのが面白いところだ。