数学I / 2次方程式・2次不等式

奇数係数の2次方程式と有理数解

最難関編有理数解偶奇の論証

問題

$a, b, c$ がすべて奇数のとき、2次方程式 $a x^{2} + b x + c = 0$ は有理数の解をもたないことを示せ。

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有理数解は既約分数とおいて分母を払うのが第一手。得られた整数の等式を「偶数か奇数か」だけの目で見る — $p, q$ の偶奇の組合せは(互いに素だから)3通りしかない。それぞれで左辺の偶奇はどうなるか。

解答・解説

方針

有理数解 p/q(既約)があると仮定して分母を払うと ap²+bpq+cq²=0。p, q は互いに素だから「両方偶数」はなく、(奇,奇)(奇,偶)(偶,奇) の3通りを偶奇で調べる。どの場合も左辺が奇数となり、0(偶数)になれず矛盾する。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「有理数解をもたない」は、背理法+既約分数の型だ。解 $x = \frac{p}{q}$ ( $p, q$ は互いに素、 $q \geq 1$ )を代入して分母を払えば、整数の等式

$a p^{2} + b pq + c q^{2} = 0$

に翻訳される。

あとはこの等式を、偶奇(2で割った余り)の目で見る。右辺の0は偶数。だから「左辺が必ず奇数になる」ことを言えば矛盾だ。

$p, q$ は互いに素なので「両方偶数」はあり得ない。偶奇の組合せは3通りだけ。どの場合も、 $a, b, c$ が奇数であることが効いて、左辺は奇数に追い込まれる。

重要有理数解は既約分数で分母を払う。互いに素な

p, q

の偶奇は(奇,奇)(奇,偶)(偶,奇)の3通り — 完全な場合分けで偶奇を追う

① 設定。 有理数解 $\frac{p}{q}$ ( $p, q$ 互いに素)があると仮定し、 $q^{2}$ を掛けて

$a p^{2} + b pq + c q^{2} = 0$

② 偶奇の3通りを調べる。 奇数×奇数=奇数、奇数×偶数=偶数に注意する( $a, b, c$ はすべて奇数):

$(p, q) = (奇, 奇)$ : $a p^{2}$ 奇 + $b pq$ 奇 + $c q^{2}$ 奇 = 奇+奇+奇 = 奇数
$(p, q) = (奇, 偶)$ : 奇 + 偶 + 偶 = 奇数
$(p, q) = (偶, 奇)$ : 偶 + 偶 + 奇 = 奇数

③ 矛盾。 どの場合も左辺は奇数。しかし右辺は $0$ (偶数)。矛盾するから、有理数解は存在しない。

まとめ: 既約分数で払い、偶奇を完全に場合分けする。係数の奇数性が、3つの場合すべてで奇数を1個以上生き残らせる。この勘定が証明の心臓部だ。たとえば $x^{2} + x + 1 = 0$ も $3 x^{2} + 5 x + 7 = 0$ も、解は(実数解があってもなくても)決して分数では書けない。判別式を一切使わない、余りの世界だけの結論である。

答

証明(既約分数 $\frac{p}{q}$ を代入し、 $p, q$ の偶奇3通りすべてで $a p^{2} + b pq + c q^{2}$ が奇数になって0になれない)

別解

判別式を「平方数の目」で見る別証明(得意な人向け)。 整数係数の2次方程式が有理数解をもつとする。解の公式から、 $D$ ( $D = b^{2} - 4 a c$ )が有理数でなければならない。整数の平方根が有理数になるのは平方数のときだけ。つまり $D$ は平方数だ。

そこで $D$ を8で割った余りを調べる。

$b$ は奇数なので $b = 2 m + 1$ とおくと $b^{2} = 4 m (m + 1) + 1$ 。 $m (m + 1)$ は連続2整数の積で必ず偶数。よって $b^{2}$ は8で割って1余る
$a c$ は奇数×奇数で奇数。よって $4 a c$ は8で割って4余る

したがって $D = b^{2} - 4 a c$ を8で割った余りは $1 - 4 \equiv 5$ 。

ところが、平方数を8で割った余りは $0, 1, 4$ のどれかしかない。偶数の平方は $0$ か $4$ 、奇数の平方は上の計算どおり $1$ だからだ。余り5の $D$ は平方数になれない。よって有理数解は存在しない。

「平方数は8で割ると $0, 1, 4$ 」というフィルタは、整数問題の全域で使い回せる強力な道具だ。

ポイント

既約分数 $\frac{p}{q}$ で $a p^{2} + b pq + c q^{2} = 0$ 。
互いに素 → 偶奇は3通り、すべて左辺が奇数。
奇数 ≠ 0(偶数)で矛盾 — 判別式不要の論法。

よくある間違い

「整数解がない」ことだけ示して答案を閉じる。問われているのは有理数解。既約分数 $\frac{p}{q}$ の設定(互いに素)から始めないと届かない。
$p, q$ の偶奇の場合分けに(偶, 偶)を含めてしまう。互いに素の仮定に反する組だ。「両方偶数なら2で約分できる」と一言添えて、3通りで尽きる理由を明示する。
整数解の場合( $q = 1$ )を別扱いし忘れたと不安になる。 $q = 1$ は奇数なので(奇, 奇)または(偶, 奇)に含まれている。場合分けが網羅になっていることを自分の言葉で確認する。