放物線と x 軸の共有点の位置(x>1 の部分)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 基準が $x=0$ から $x=1$ に移っただけで、考える枠組みは解の配置の定石そのものだ。

(1) の「$2$ 交点とも $1$ より大」は、$D$・軸・$f(1)$ の $3$ 点セットで決まる。

(2) の「$1$ をはさむ」は、$f(1)<0$ の $1$ 本だけで決まる。

もとの基準 $0$ での $f(0)$ が担っていた役を、こんどは $f(1)$ が引き継ぐ、と対応させて覚えるとよい。

$f(x)=x^2-2ax+a+2$、下に凸。$x=1$ を基準に考える。

$$f(1)=1-2a+a+2=3-a$$

(1) $x>1$ の部分で異なる2点で交わる

2解がともに1より大きい条件は3つ。

① $D>0$:

$$\frac{D}{4}=a^2-(a+2)=(a-2)(a+1)>0\text{よって}a<-1\text{ または }a>2$$

② 軸 $>1$: 軸 $x=a>1$、つまり $a>1$。

③ $f(1)>0$: $3-a>0$、つまり $a<3$。

3つをすべて満たすのは

$$2<a<3$$

(2) $x>1$ と $x<1$ の両方と交わる

1解が1より大、もう1解が1より小、つまり $x=1$ を挟む2解。条件は $x=1$ で放物線が $x$ 軸より下、つまり $f(1)<0$ の1つだけ。

$$f(1)=3-a<0\text{よって}a>3$$

よって

$$a>3$$

まとめ:$x=1$ を基準にした解の配置。『両方1より大』は3条件($D>0$・軸・$f(1)$)、『1を挟む』は $f(1)<0$ の1条件。図で交わり方をイメージして条件に翻訳する。

発展 — 一歩先へ。 $a$ を少しずつ変えると、$x$ 軸との $2$ 交点が軸上を動いていく様子が見えてくる。

$a=2$ では判別式が $0$ で、$2$ つの交点が $x=2$ でひとつに重なる(接する)。$a$ がここを超えると交点が左右に開き、どちらも $1$ より大きい側に現れる。これが (1) の $2<a<3$ だ。

さらに $a=3$ になると、左の交点がちょうど $x=1$ に到達する。$a$ がこれを超えると左の交点が $1$ より小さい側へ抜け、$1$ をはさむ配置に変わる。これが (2) の $a>3$。境界 $a=2,3$ は、交点が生まれる瞬間と、交点が基準 $x=1$ を横切る瞬間にあたる。

別解

別解 — 解の公式で $2$ 交点を書き、$1$ との大小を読む(公式で押すルート)。 配置の $3$ 条件を覚えるかわりに、交点の $x$ 座標を実際に書く。

$x^2-2ax+a+2=0$ を解くと $x=a\pm \sqrt{a^2-a-2}$。異なる $2$ 交点には根号内が正、$a^2-a-2>0$ が要る。

(1) は「小さいほうの交点も $1$ より大」。小さいほうは $a-\sqrt{a^2-a-2}$ だから

$$a-\sqrt{a^2-a-2}>1.$$

$\sqrt{a^2-a-2}<a-1$。左辺が正だから右辺も正、$a>1$ が要る。$2$ 乗して $a^2-a-2<a^2-2a+1$、$a<3$。根号内が正($a>2$ の側)と合わせて $2<a<3$。

(2) は「小さいほうの交点が $1$ より小、大きいほうが $1$ より大」、つまり $1$ が $2$ 交点のあいだにある配置だ。$2$ 交点は軸 $x=a$ から左右に等距離 $\sqrt{a^2-a-2}$ にある。$1$ が間に入るのは、軸から $1$ までの距離が半幅より小さいときだ。

$$|1-a|<\sqrt{a^2-a-2}.$$

これは $a-\sqrt{a^2-a-2}<1<a+\sqrt{a^2-a-2}$ と同じで、$1$ が $2$ 交点の間にあることそのものだ。両辺を $2$ 乗して $(1-a{)}^2<a^2-a-2$、展開して $1-2a<-a-2$、$-a<-3$、$a>3$。この $1$ 本で根号内が正($a>3$)も含まれ、余分な条件は要らない。

交点を実際に書いて $1$ と比べると、グラフの $3$ 点セットを持ち出さずに、本解と同じ $2<a<3$、$a>3$ に届く。