数学I / 2次方程式・2次不等式

文字係数の2次方程式(実数解をもつ条件)

★ 基礎判別式文字係数

問題

$m$ は定数とする。

(1) 2次方程式 $x^{2} + 6 x + m = 0$ が実数解をもつような $m$ の値の範囲を求めよ。

(2) 2次方程式 $x^{2} - m x + m = 0$ が重解をもつような $m$ の値を求めよ。また、そのときの重解を求めよ。

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『実数解をもつ』は $D \geq 0$ 、『重解』は $D = 0$ に翻訳できる。 $D$ を $m$ の式で表して、不等式・方程式として解く。重解のときは、そのときの解( $x = - \frac{b}{2 a}$ )も求める。

解答・解説

方針

『実数解をもつ』条件は、判別式 $D \geq 0$ 。『重解をもつ』条件は $D = 0$ 。

だから、 $D$ を $m$ の式で表して、 $D \geq 0$ (または $D = 0$ )を $m$ について解けばよい。判別式が『解の存在条件を $m$ の式にする道具』になる。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「実数解をもつ条件」を判別式の不等式に翻訳する。

(1)「実数解をもつ」は「 $2$ 個または $1$ 個」— つまり $D ≧ 0$ ( $D > 0$ ではない。重解も実数解だ)。

$D = 36 - 4 m ≧ 0 ⟹ m ≦ 9$

(2)「重解をもつ」は $D = 0$ ちょうど。 $D = m^{2} - 4 m = 0$ から $m = 0, 4$ 。

条件の日本語を、 $D$ の不等号(または等号)に正確に翻訳する — それがこの型のすべてである。

公式実数解をもつ

⟺

D \geq 0

、重解をもつ

⟺

D = 0

(1) $x^{2} + 6 x + m = 0$ が実数解をもつ条件は $D \geq 0$ 。 $a = 1, b = 6, c = m$ なので

$D = 6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot m = 36 - 4 m$

$D \geq 0$ より

$36 - 4 m \geq 0$

これを解くと $4 m \leq 36$ 、 $m \leq 9$ 。

(2) $x^{2} - m x + m = 0$ が重解をもつ条件は $D = 0$ 。 $a = 1, b = - m, c = m$ なので

$D = (- m)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot m = m^{2} - 4 m$

$D = 0$ より

$m^{2} - 4 m = 0 m (m - 4) = 0$

よって $m = 0$ または $m = 4$ 。( $m = 0$ のとき方程式は $x^{2} = 0$ で重解 $x = 0$ 、 $m = 4$ のとき $x^{2} - 4 x + 4 = (x - 2)^{2} = 0$ で重解 $x = 2$ 。)

重解 ⇔ 放物線が x 軸に接する(D=0)。図は m=4:y=(x−2)²

まとめ:『実数解をもつ』は $D \geq 0$ 、『重解』は $D = 0$ 。判別式を $m$ の式にして、条件を $m$ の不等式・方程式に翻訳するのがコツだ。

発展 — 一歩先へ。 条件の日本語と $D$ の対応を、表にして頭に入れておきたい。

日本語	$D$ の条件
異なる $2$ つの実数解をもつ	$D > 0$
実数解をもつ	$D ≧ 0$
重解をもつ(接する)	$D = 0$
実数解をもたない	$D < 0$

「実数解をもつ」と「異なる $2$ つの実数解をもつ」の違い(等号の有無)が、最頻の減点ポイント。問題文を $1$ 語ずつ読む習慣が要る。

$D$ が $m$ の式になったとき、 $D ≧ 0$ という不等式を解くのは — $m$ についての $1$ 次不等式や $2$ 次不等式だ。(2)の $m^{2} - 4 m = 0$ は $m$ の $2$ 次方程式。 $x$ の $2$ 次方程式を調べるために、 $m$ の方程式を解く — この「主役の交代」が、文字係数の問題の本質である。

答

(1) $m \leq 9$ (2) $m = 0$ のとき重解 $x = 0$ 、 $m = 4$ のとき重解 $x = 2$

別解

(2)で重解の値を求めるとき、方程式に代入し直す必要はない — 軸の位置が答えだ。

$D = 0$ (接する)とき、接点はちょうど放物線の軸の真下にある。だから重解は

$x = - \frac{b}{2 a}$

この問題では $a = 1, b = - m$ なので、重解は $x = \frac{m}{2}$ 。

$m = 0$ のとき、重解 $x = 0$
$m = 4$ のとき、重解 $x = 2$

$m$ を代入して方程式を解き直す手間がゼロ — 公式 $- \frac{b}{2 a}$ に $m$ を入れるだけだ。

検算しておこう。 $m = 4$ なら方程式は $x^{2} - 4 x + 4 = (x - 2)^{2} = 0$ — 確かに重解 $x = 2$ ✓。

なぜ重解が軸の位置になるのか — 解の公式 $x = \frac{- b \pm D}{2 a}$ で $D = 0$ とすれば、 $\pm$ の部分が消えて $x = - \frac{b}{2 a}$ だけが残る。 $2$ 解が軸の左右に $\pm$ で開いていたのが、 $D = 0$ で軸の $1$ 点に重なった — それが「重解」という言葉の意味だ。

$D$ と軸と解の関係を、 $1$ つの絵として持っておくと、この後の解の配置問題が楽になる。

ポイント

実数解をもつ → $D \geq 0$ 、重解をもつ → $D = 0$
$D$ を文字( $m$ )の式にして、条件を解く
判別式は『解の存在条件を文字の式にする道具』

よくある間違い

『実数解をもつ』を $D > 0$ としてしまう(重解も含むので $D \geq 0$ )
$D$ の計算で $c = m$ の代入を間違える
(2)で $m$ の値だけ答え、重解 $x$ を求め忘れる