区間に少なくとも1つの解をもつ条件

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「$0\le x\le 2$ に少なくとも $1$ つの解」は、実は $2$ 通りの状況をまとめたもの。分けて考える。

(A) 区間の端で符号が変わる場合。$f(0)$ と $f(2)$ が異符号なら、その間に必ず解が $1$ つある($f(0)f(2)\le 0$)。

(B) $2$ 解ともに区間内にある場合。判別式・軸の位置・$f(0)\ge 0$・$f(2)\ge 0$ をすべて満たす。

この $2$ つの状況の和集合が答え。「少なくとも $1$ つ」は $1$ 個の不等式では書けないので、場合を尽くすのがコツだ。

① 準備。 $f(x)=x^2-2ax+a$、軸 $x=a$。$f(0)=a$、$f(2)=4-4a+a=4-3a$。

② (A) 端点で異符号。 $f(0)f(2)\le 0$、すなわち $a(4-3a)\le 0$。これは $a\le 0$ または $a\ge \frac{4}{3}$。

③ (B) $2$ 解とも区間内。 判別式 $\frac{D}{4}=a^2-a\ge 0$($a\le 0$ または $a\ge 1$)、軸 $0\le a\le 2$、$f(0)=a\ge 0$、$f(2)=4-3a\ge 0$($a\le \frac{4}{3}$)。これらを連立すると $a=0$ または $1\le a\le \frac{4}{3}$。

④ 和集合をとる。 (A)$\cup$(B)$=\{a\le 0\text{または}a\ge \frac{4}{3}\}\cup \{a=0\text{または}1\le a\le \frac{4}{3}\}$。まとめると

$$a\le 0\text{または}a\ge 1$$

まとめ:「少なくとも $1$ つ」は「$1$ つだけ(端点異符号)」と「$2$ つとも(フル条件)」の和集合。片方だけでは $1\le a<\frac{4}{3}$ の“両方入る”ケースを取りこぼす。両者を合わせて初めて $a\ge 1$ とまとまる。

発展 — 一歩先へ。 「区間に少なくとも $1$ 解」は、定数分離 $a=g(x)$ にすると「水平線 $y=a$ が $g$ の値域と交わる」= $g$ の値域を求める問題に一本化できる(別解)。場合分け(端点異符号 or $2$ 解とも内)を尽くす代数的な道と、値域を見るグラフの道、どちらも同じ答え。定数分離は場合分けを回避する強力な発想だ。

別解

別解 — 定数分離して「放物線と水平線の交わり」で見る(視覚で捉えるルート)。 $x^2-2ax+a=0$ から $a$ を分離する。$a$ を含む項でくくると $x^2=a(2x-1)$、$2x-1\ne 0$ で $a=\frac{x^2}{2x-1}$。

$0\le x\le 2$ で右辺 $g(x)=\frac{x^2}{2x-1}$ がとる値の範囲が、そのまま「解をもつ $a$」の範囲。水平線 $y=a$ と $y=g(x)$ が $[0,2]$ で交われば、その $a$ で解がある。

$g(x)$ を調べると、$x=\frac{1}{2}$ で分母が $0$(縦漸近線)。$0\le x<\frac{1}{2}$ では $g\le 0$($x=0$ で $g=0$)、$\frac{1}{2}<x\le 2$ では $g$ は $x=1$ で最小 $1$ をとり、$x=2$ で $\frac{4}{3}$。

$[0,2]$ での値域は「$a\le 0$」または「$a\ge 1$」。場合分け(本解)の $f(0)f(2)\le 0$ などと同じ答えに、$1$ 本のグラフの値域として着く。定数分離は「少なくとも $1$ 解」型を値域の問題に変える強力な手だ。