文字係数の2次不等式(場合分け)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 因数分解すると $(x-3)(x-a)<0$。交点は $3$ と $a$ で、解は内側、までは決まる。

決まらないのは「どちらが左か」だ。$a$ は文字だから、$3$ との大小が分からない。

文字入りの交点を見たら、「大小で場合分け。等しいときは退化」という3分岐を最初に設計する。$a<3$、$a=3$、$a>3$ の3枚の絵を描いてから書き始める。

因数分解する。

$$(x-3)(x-a)<0$$

交点は $x=3$ と $x=a$。$<0$(内側)が答えだが、$3$ と $a$ のどちらが小さいかで書き方が変わるので場合分けする。

① $a<3$:

$a$ のほうが小さいので、内側は

$$a<x<3$$

② $a=3$: 2つの交点が重なり $(x-3{)}^2<0$。2乗が負になることはないので解なし。

③ $a>3$:

$3$ のほうが小さいので、内側は

$$3<x<a$$

まとめ:文字係数の2次不等式は、交点(ここでは $3$ と $a$)の大小がわからないので場合分けが必要。$a=3$(重なる)を境に、内側の書き方が入れかわる。

発展 — 一歩先へ。 「大小で場合分け、等しいとき退化」の3分岐は、文字入りの因数分解型すべてに通用する普遍の型だ。等号のときに解が消える(退化する)ところまで含めて1セットで覚えたい。

数IIに進むと、$x^2$ の係数にも文字が付く型(正・$0$・負で放物線の向き自体が変わる)へ拡張される。分岐の設計を先に立てる習慣が、そこで効いてくる。

別解

文字の場合分けが不安なときは、具体的な $a$ で「答えの形」を先に見てしまうとよい。

$a=0$ を入れてみる。$(x-3)x<0$ の解は $0<x<3$。つまり「$a$ と $3$ の間」だ。

$a=5$ なら $(x-3)(x-5)<0$ で $3<x<5$。やはり「$3$ と $a$ の間」だが、今度は $3$ が左になる。

$a=3$ ちょうどでは $(x-3{)}^2<0$。2乗が負になることはないから、解なし。

3つの実験で、答えの3つの形(内側の書き方2通り+解なし)が出そろった。あとは境目を $a=3$ にして一般の言葉で書き直すだけだ。文字を見たら具体値で形をつかむ。この実験の習慣は、場合分け全般の羅針盤になる。