数学I / 2次方程式・2次不等式

解の配置(1を挟む2解)

★★ 標準解の配置

問題

$x$ の2次方程式 $x^{2} - 2 a x + 4 a - 5 = 0$ が、 $1$ より大きい解と $1$ より小さい解を1つずつもつような定数 $a$ の値の範囲を求めよ。

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『 $1$ より大きい解と小さい解を1つずつ』=『 $x = 1$ を2解が挟む』。下に凸の放物線が $x = 1$ で $x$ 軸より下、つまり $f (1) < 0$ の1条件だけで決まる。

解答・解説

『1より大きい解と1より小さい解を1つずつ』は、放物線が $x = 1$ の位置で $x$ 軸をまたぐ状況。下に凸の放物線が、 $x = 1$ の直下(下側)を通ればよい。

つまり条件はたった1つ — $f (1) < 0$ 。 $x = 1$ で放物線が $x$ 軸より下にあれば、その左右で必ず $x$ 軸と交わり、1を挟む2解になる。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「 $1$ より大きい解と小さい解を1つずつ」。定石どおり $D$ ・軸・端点の3点セットを持ち出す前に、絵を見てほしい。

下に凸の放物線が $x = 1$ で $x$ 軸より下にありさえすれば、左右へ上がっていく途中で必ず1回ずつ軸を横切る。

つまり条件は $f (1) < 0$ の1つだけに退化する。 $D > 0$ は自動で満たされる( $x = 1$ で負の値をとる以上、必ず2交点がある)。「またぐ型は端点だけ」という省エネに気づけるかが分かれ目だ。

1 より大きい解と小さい解を1つずつもつ ⇔ f(1) < 0(図は a = 0 の例)

$f (x) = x^{2} - 2 a x + 4 a - 5$ 、下に凸。

公式

1

を挟む2解(下に凸)

⟺

f (1) < 0

『1より大きい解と1より小さい解を1つずつ』もつのは、放物線が $x = 1$ の位置で $x$ 軸より下にあるとき。つまり条件は

$f (1) < 0$

の1つだけ(下に凸の放物線が $x = 1$ で負なら、その左右で必ず $x$ 軸を1回ずつ横切り、1を挟む2解になる)。 $f (1)$ を計算する。

$f (1) = 1^{2} - 2 a \cdot 1 + 4 a - 5 = 2 a - 4$

$f (1) < 0$ より

$2 a - 4 < 0$

これを解いて

$a < 2$

まとめ:『ある値 $c$ を挟む2解』は、 $f (c) < 0$ (下に凸の場合)のたった1つの条件。 $D > 0$ や軸の条件は、 $f (1) < 0$ が成り立てば自動的に満たされるので不要だ。

発展 — 一歩先へ。 解の配置は「両方が区間の右」「またぐ」「区間内に2解」などの型ごとに、必要な条件の本数が違う。またぐ型が1本で済むのは、 $f (1) < 0$ が他の条件( $D > 0$ )を自動的に連れてくるからだ。条件の従属を見抜くと、計算が劇的に減る。

「境界での関数値の符号」だけで解の存在が言える、という考え方は、数学IIIの中間値の定理で一般の関数へ拡張される。

答

$a < 2$

2つの解 $α$ 、 $β$ の言葉で書き直す方法もある。「 $1$ をはさむ」は $α < 1 < β$ 、つまり

$(α - 1) (β - 1) < 0$

と1本の不等式になる( $1$ との差が異符号、ということだ)。

展開すると $α β - (α + β) + 1 < 0$ 。解と係数の対応( $α + β = 2 a$ 、 $α β = 4 a - 5$ )を入れて

$(4 a - 5) - 2 a + 1 < 0$

整理して $2 a - 4 < 0$ 、 $a < 2$ 。

実はこの左辺は $f (1)$ そのものだ( $f (1) = (1 - α) (1 - β) = (α - 1) (β - 1)$ )。本解の「 $f (1) < 0$ 」と別解の「差の積が負」は、同じ量を図形と代数の両側から見ていたことになる。