文字係数の2次不等式(解の形の場合分け)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 因数分解すると、交点は $a$ と $a^2$ の $2$ つだ。

ただし、どちらが大きいかは $a$ の値しだいで変わる。大小の分かれ目は差 $a^2-a=a(a-1)$ の符号、つまり $a=0,1$ が境界になる。

しかも $a=a^2$ となる $a=0,1$ では、$2$ つの交点が重なって「内側」が消え、解なしになる。

そこで $a<0$、$0<a<1$、$a>1$ といった場合分けの地図を先に描く。そのうえで、各区域を $1$ つずつ処理していく。

因数分解する。

$$x^2-(a^2+a)x+a^3=(x-a)(x-a^2)$$

よって

$$(x-a)(x-a^2)<0$$

交点は $a$ と $a^2$。$<0$ は内側だが、$a$ と $a^2$ のどちらが大きいかで書き方が変わる。大小は差 $a^2-a$ の符号で決まる。

$$a^2-a=a(a-1)$$

これが正($a<0$ または $a>1$)なら $a<a^2$、負($0<a<1$)なら $a^2<a$、0($a=0$ または $a=1$)なら一致。場合分けする。

$a<0$ または $a>1$:

$a<a^2$ なので内側は

$$a<x<a^2$$

$0<a<1$:

$a^2<a$ なので内側は

$$a^2<x<a$$

$a=0$ または $a=1$: 交点が一致し $(x-a{)}^2<0$ で

$$\text{解なし}$$

まとめると

$$\begin{array}{rlrl}& a<0,a>1\text{ のとき}& & a<x<a^2\\ & 0<a<1\text{ のとき}& & a^2<x<a\\ & a=0,1\text{ のとき}& & \text{解なし}\end{array}$$

まとめ:文字係数の2次不等式は、交点($a$ と $a^2$)の大小がわからないので場合分け。大小は差の符号 $a(a-1)$ で判定し、一致するとき($a=0,1$)は解なし、と押さえる。

発展 — 一歩先へ。 文字係数の不等式は、パラメータ $a$ の直線を「解の様子が同じ区域」に切り分ける地図づくりだと見るとよい。

境界になるのは、$2$ つの交点が重なる $a=0,1$。ここでは解の区間がつぶれて消える。方程式でいえば重解になる瞬間で、いわば解が生まれたり消えたりする分岐点だ。

その境界をまたぐと、解の向きまで入れかわる。$a<x<a^2$ だった区間が、$0<a<1$ では $a^2<x<a$ と左右逆になる。パラメータを $1$ 本の軸として眺め、どこで質が変わるかを押さえるのが、文字係数の問題の勘どころだ。

別解

別解 — $y=x$ と $y=x^2$ のグラフで大小を読む(苦手な人向けの視覚ルート)。 $a$ と $a^2$ のどちらが大きいかを、計算でなくグラフで見分ける。

直線 $y=x$ と放物線 $y=x^2$ は、$x=0$ と $x=1$ で交わる。この $2$ 点の外側、つまり $x<0$ と $x>1$ では放物線が上にあり $x^2>x$。内側の $0<x<1$ では放物線が下にあり $x^2<x$。

だから、$a$ を横軸に置いて位置を見れば大小が即座に決まる。$a<0$ と $a>1$ では $a<a^2$、$0<a<1$ では $a^2<a$、$a=0,1$ では一致。

あとは $(x-a)(x-a^2)<0$ が「小さいほうと大きいほうの内側」であることから、$a<0,a>1$ で $a<x<a^2$、$0<a<1$ で $a^2<x<a$、$a=0,1$ で解なし。

差 $a(a-1)$ の符号を代数で調べる本解と同じ結論に、$2$ つのグラフの上下関係から視覚的に着く。