2次不等式の文章題(長方形の面積)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 文章題は式を立てるまでが勝負。

周 $40$ は「縦 $2$ 本 $+$ 横 $2$ 本」だから、縦 $+$ 横 $=20$。縦が $x$ なら横は $20-x$。

面積が $96$ 以上、を不等式にすると

$$x(20-x)\geqq 96$$

整理して $x^2-20x+96\leqq 0$ — $2$ 次不等式だ($-1$ 倍で不等号が反転することに注意)。

因数分解して $(x-8)(x-12)\leqq 0$ から $8\leqq x\leqq 12$。長さの条件($0<x<20$)も満たしている。

周40cmなので、縦+横 $=40÷2=20$。縦が $x$ なら横は $20-x$。面積が96以上という条件は

$$x(20-x)\ge 96$$

展開して整理する。

$$20x-x^2\ge 96$$

$$x^2-20x+96\le 0$$

(両辺を $-1$ で整理して、不等号の向きが変わった。)左辺を因数分解する。

$$(x-8)(x-12)\le 0$$

$\le 0$ は内側なので

$$8\le x\le 12$$

(縦 $x$ も横 $20-x$ もこの範囲で正なので、定義域も満たしている。)

まとめ:面積の条件を2次不等式にして解く。周から『縦+横 $=20$』を出し、横 $=20-x$ とするのが第一歩だ。

発展 — 一歩先へ。 もし条件が「面積 $\geqq 100$」なら、答えは $x=10$ の $1$ 点だけ(正方形のみ)。$\geqq 101$ なら解なしになる(最大が $100$ だから)。$2$ 次不等式の答えが「$1$ 点」や「なし」になるケースが、文章題として自然に現れる — 前問で学んだ $D=0$、$D<0$ の場合が、現実の意味を持つ瞬間だ。

「与えられた周で面積を最大化」と「与えられた面積の下限を満たす形の範囲」は、同じ $2$ 次関数の別の読み方。最大最小(関数の問題)と範囲(不等式の問題)が、$1$ つの式 $S=-(x-10{)}^2+100$ の中で結びついている — $2$ 次関数と $2$ 次不等式が同じ単元にある理由が、ここにある。

別解

答えの $8\leqq x\leqq 12$ が「$10$ を中心に左右対称」なのは偶然ではない。その理由が分かると、検算も一瞬になる。

面積 $S=x(20-x)$ を平方完成すると

$$S=-(x-10{)}^2+100$$

軸は $x=10$(正方形のとき)で、最大面積 $100$。そこから左右に離れるほど、$(x-10{)}^2$ の分だけ面積が減る。

「面積 $\geqq 96$」は「$100$ から減る量が $4$ 以下」ということ。

$$(x-10{)}^2\leqq 4⟹|x-10|\leqq 2⟹8\leqq x\leqq 12$$

中心 $10$ から距離 $2$ 以内 — 絶対値の不等式そのものだ。答えが対称になる理由が、この形で完全に見える。

縦 $8$ なら横 $12$、縦 $12$ なら横 $8$ — この $2$ つは同じ長方形(向きが違うだけ)だから、答えが $10$ について対称になるのは当然である。

検算も端でやろう。$x=8$: 面積 $8\times 12=96$ ✓(ちょうど $96$)。$x=7$: $7\times 13=91<96$ ✗(範囲外)。$x=10$: $100\geqq 96$ ✓。

平方完成で「中心と距離」に翻訳する — $2$ 次不等式を絶対値の形で読む視点は、答えの意味を鮮明にしてくれる。