数学I / 2次方程式・2次不等式

係数を入れかえた2次不等式

★★★★ 難関2次不等式解と係数

問題

$2$ 次不等式 $a x^{2} + b x + c > 0$ の解が $x < - 2, 3 < x$ であるとき、 $2$ 次不等式 $c x^{2} + b x + a < 0$ の解を求めよ。ただし $a, b, c$ は定数とする。

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解が「外側」なら下に凸で、 $2$ 次式は $a (x + 2) (x - 3)$ の形。展開して $b, c$ を $a$ で表す。それを $2$ つ目の不等式に代入し、 $a > 0$ で割る。

解答・解説

方針

解が「外側( $x < - 2, 3 < x$ )」だから下に凸で $a > 0$ 、 $a x^{2} + b x + c = a (x + 2) (x - 3)$ 。展開して $b, c$ を $a$ で表す( $b = - a$ 、 $c = - 6 a$ )。これを第 $2$ 式に代入し、 $a > 0$ で割って解く。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 第 $1$ の不等式の解が「 $x < - 2$ または $3 < x$ 」と外側に広がっている。これは下に凸( $a > 0$ )で、 $x$ 軸との交点が $- 2$ と $3$ という意味だ。

だから $a x^{2} + b x + c = a (x + 2) (x - 3)$ 。展開して $b = - a$ 、 $c = - 6 a$ と、 $b, c$ を $a$ で表せる。

これを第 $2$ の不等式 $c x^{2} + b x + a < 0$ に代入する。 $a > 0$ で割れば、 $a$ が消えて具体的な $2$ 次不等式になり、解ける。

重要

2

次不等式の解が「外側」

x < α, β < x

(

α < β

)⟺ 下に凸(

a > 0

)で

x

軸との交点が

α, β

。よって

a x^{2} + b x + c = a (x - α) (x - β)

① 係数を $a$ で表す。 解の形から $a > 0$ で

$a x^{2} + b x + c = a (x + 2) (x - 3) = a (x^{2} - x - 6) = a x^{2} - a x - 6 a$

係数を比べて $b = - a$ 、 $c = - 6 a$ 。

② 第 $2$ 式に代入する。 $c x^{2} + b x + a < 0$ に入れると

$- 6 a x^{2} - a x + a < 0$

$a > 0$ だから両辺を $a$ で割っても不等号の向きは変わらず

$- 6 x^{2} - x + 1 < 0 ⟹ 6 x^{2} + x - 1 > 0$

(両辺に $- 1$ を掛けたので向きが変わる。)

③ 解く。 $6 x^{2} + x - 1 = (3 x - 1) (2 x + 1)$ より $(3 x - 1) (2 x + 1) > 0$ 。下に凸で「外側」だから

$x < - \frac{1}{2} または \frac{1}{3} < x$

まとめ:係数が文字でも、解の情報から $2$ 次式を因数分解の形に固定できる。 $a > 0$ で割ると $a$ が消え、具体値は不要。負の数を掛けて不等号の向きを反転する $2$ か所(第 $2$ 式の整理)が計算ミスの急所。

発展 — 一歩先へ。 「係数を逆順にすると解が逆数」( $a x^{2} + b x + c$ の解 $α, β$ に対し $c x^{2} + b x + a$ の解は $\frac{1}{α}, \frac{1}{β}$ )は、 $x \to \frac{1}{x}$ の置き換えに対応する。相反方程式(係数が左右対称)が解の逆数ペアをもつのも同じ原理。係数の対称性が解の構造を決める好例だ。

答

$x < - \frac{1}{2}$ または $\frac{1}{3} < x$

別解

別解 — グラフを「 $x$ 軸で反転」して係数の入れ替えを読む(得意な人向けの高い視点)。 $a x^{2} + b x + c$ と $c x^{2} + b x + a$ の関係を、係数を具体化せずに捉える。

$a x^{2} + b x + c = 0$ の解を $α, β$ とすると、解と係数で $α β = \frac{c}{a}$ 、 $α + β = - \frac{b}{a}$ 。一方 $c x^{2} + b x + a = 0$ の解を調べると、 $\frac{1}{α}, \frac{1}{β}$ になる(係数を逆順にすると解が逆数になる)。

第 $1$ 式の解は $- 2, 3$ ( $x < - 2, 3 < x$ が解だから境界)。だから第 $2$ 式 $c x^{2} + b x + a = 0$ の解は $\frac{1}{- 2} = - \frac{1}{2}$ と $\frac{1}{3}$ 。

$c x^{2} + b x + a$ の $x^{2}$ の係数 $c = - 6 a < 0$ (上に凸)。上に凸の $2$ 次式が $< 0$ になるのは、 $2$ 解の外側。よって $x < - \frac{1}{2}$ または $x > \frac{1}{3}$ 。

$b, c$ を $a$ で表して代入する(本解)代わりに、「係数を逆順にすると解が逆数」という関係で、第 $2$ 式の解 $- \frac{1}{2}, \frac{1}{3}$ が第 $1$ 式の解 $- 2, 3$ の逆数だと一目で分かる。上に凸(係数 $c < 0$ )で不等号の向きも決まる。

ポイント

解が外側 → $a > 0$ 、 $a x^{2} + b x + c = a (x + 2) (x - 3)$ → $b = - a, c = - 6 a$ 。
第 $2$ 式は $6 x^{2} + x - 1 > 0$ 、 $(3 x - 1) (2 x + 1) > 0$ で $x < - \frac{1}{2}$ または $\frac{1}{3} < x$ 。

よくある間違い

第 $1$ の解が「外側」だから下に凸( $a > 0$ )であることを使わず、 $a$ の符号を決められない。
$a (x + 2) (x - 3)$ の展開で $b = - a$ 、 $c = - 6 a$ を誤る。
第 $2$ 式に代入後、 $a > 0$ で割るときに不等号の向きを反転させてしまう(正で割るので向きは不変)。