数学I / 2次方程式・2次不等式

判別式と実数解の個数

★★ 標準判別式

問題

$m$ を定数とする。 $x$ の2次方程式 $x^{2} + (m - 1) x + m + 2 = 0$ について、次の問いに答えよ。

(1) 異なる2つの実数解をもつような $m$ の値の範囲を求めよ。

(2) 重解をもつような $m$ の値と、そのときの重解を求めよ。

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$D = (m - 1)^{2} - 4 (m + 2)$ をまず展開・整理(できれば因数分解)。『異なる2解 → $D > 0$ 』『重解 → $D = 0$ 』と対応させて $m$ を求める。重解のときは解も。

解答・解説

『異なる2つの実数解』は $D > 0$ 、『重解』は $D = 0$ 。 $D$ を $m$ の式にして、条件を $m$ について解く。

$D$ の式が $m$ の2次式になったら、因数分解して不等式を解く(それ自体が2次不等式)。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 解の個数の条件は、判別式に翻訳する。「異なる2つの実数解」は $D > 0$ 、「重解」は $D = 0$ だ。

翻訳を決めたら、あとは $D$ を $m$ の式で書く作業になる。

ここで覚悟しておくことが1つ。 $D$ 自身が $m$ の2次式になるので、「判別式の不等式が、また2次不等式になる」という入れ子構造が現れる。あらかじめ知っていれば、途中で迷子にならない。

公式判別式

D = b^{2} - 4 a c

。異なる2解

⟺

D > 0

、重解

⟺

D = 0

判別式を計算・整理する。 $a = 1, b = m - 1, c = m + 2$ なので

$D = (m - 1)^{2} - 4 (m + 2) = m^{2} - 2 m + 1 - 4 m - 8 = m^{2} - 6 m - 7 = (m + 1) (m - 7)$

(1) 異なる2つの実数解 → $D > 0$

$(m + 1) (m - 7) > 0$

$> 0$ は外側なので

$m < - 1, 7 < m$

(2) 重解 → $D = 0$

$(m + 1) (m - 7) = 0$

から $m = - 1$ または $m = 7$ 。(それぞれ重解の値も $x = - \frac{b}{2}$ から求まる。)

判別式 D の符号で x軸との交点数が決まる。D>0:2個(実数解2)、D=0:1個(重解)、D<0:0個

まとめ:判別式 $D$ を $m$ の式にすると、それ自体が $m$ の2次式。因数分解して2次不等式・2次方程式として解く、という2段構えになる。

発展 — 一歩先へ。 判別式の符号は、放物線と $x$ 軸の位置関係(2点で交わる・接する・離れる)の代数版だ。次の問題で、この図形との対応を正面から使う。

「条件を課したら、判別式自身が新しい2次不等式になる」という入れ子は、文字定数入りの問題の典型的な構造である。外側の問題と内側の問題を混同しないよう、いま何の変数について解いているかを常に意識したい。

答

(1) $m < - 1, 7 < m$ (2) $m = - 1$ のとき重解 $x = 1$ 、 $m = 7$ のとき重解 $x = - 3$

(2)の重解の値は、解の公式に戻らなくても出せる。重解は「軸の位置」そのものだからだ。

$D = 0$ のとき、解の公式の $\pm D$ の部分が消える。残るのは $x = - \frac{b}{2 a}$ 、つまり放物線の軸だ。

$m = - 1$ のとき: $x = - \frac{m - 1}{2} = - \frac{- 2}{2} = 1$ 。

$m = 7$ のとき: $x = - \frac{6}{2} = - 3$ 。

「接する=頂点が $x$ 軸に乗る=重解は軸の位置」。グラフの絵と結びつけておくと、重解の値は代入し直すより速く、確実に出せる。