x軸から切り取る2交点の距離

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $2$ 交点の $x$ 座標は $x^2-2ax+a=0$ の $2$ 解 $\alpha ,\beta$。交点間の距離は $|\alpha -\beta |$($x$ 軸上の $2$ 点なので $x$ 座標の差)。

$2$ 解の差は、解の公式から $|\alpha -\beta |=\sqrt{D}$(判別式の平方根)。または $(\alpha -\beta {)}^2=(\alpha +\beta {)}^2-4\alpha \beta$ を解と係数で計算してもよい。

距離 $=\sqrt{D}=2$ とおいて解く。$D=4a^2-4a=4$ から $a^2-a-1=0$、$a=\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}$。

① $2$ 解の差を判別式で表す。 $x^2-2ax+a=0$ の判別式は

$$\frac{D}{4}=a^2-a⟹D=4(a^2-a)$$

解の公式 $x=a\pm \sqrt{a^2-a}$ より、$2$ 解の差(距離)は $2\sqrt{a^2-a}$。

② 距離 $=2$ とおく。

$$2\sqrt{a^2-a}=2⟹\sqrt{a^2-a}=1⟹a^2-a=1$$

③ 解く。 $a^2-a-1=0$ より $a=\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}$。このとき $a^2-a=1>0$ なので $D>0$(異なる $2$ 交点)も満たす。よって

$$a=\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}$$

まとめ:$x$ 軸との $2$ 交点の距離は「$2$ 解の差 $=\sqrt{D}$」($x^2$ の係数 $1$ のとき)。交点を求めずに判別式だけで距離が書けるのが要点。最後に $D>0$(異なる $2$ 点)の確認も忘れない。

発展 — 一歩先へ。 $x$ 軸から切り取る弦の長さ $\sqrt{D}=\sqrt{b^2-4ac}/|a|$ は、判別式の平方根そのもの。$2$ 次関数のグラフでは、判別式が「弦の長さの$2$乗($\times a^2$)」という幾何的な意味をもつ。$D>0$ で弦あり、$D=0$ で弦の長さ $0$(接する)、$D<0$ で交わらない、と一望できる。

別解

別解 — グラフの「頂点の高さ」と幅の関係で出す(視覚で捉えるルート)。 $y=x^2-2ax+a$ を平方完成すると $y=(x-a{)}^2+(a-a^2)$。頂点は $(a,a-a^2)$。

下に凸の放物線が $x$ 軸から切り取る弦の長さは、頂点の深さ(負の高さ)と関係する。頂点の高さを $-h$($h>0$)とすると、$x$ 軸との交点は頂点から左右に $\sqrt{h}$ ずつ($y=0$ を解くと $(x-a{)}^2=h$)。だから弦の長さは $2\sqrt{h}$。

ここで $h=-(a-a^2)=a^2-a$。弦の長さ $2\sqrt{a^2-a}=2$ とおくと $a^2-a=1$、すなわち $a^2-a-1=0$、$a=\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}$。

解の差 $\sqrt{D}$(本解)を使うのと同じ $a^2-a-1=0$ に着くが、「頂点の深さ $h$ から弦が $2\sqrt{h}$」と図形的に読むと、$2$ 次関数の $D$($=4h$)と弦の長さ($2\sqrt{h}=\sqrt{D}$)の関係が見える。