異なる2つの正の解をもつ条件(解の配置)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「異なる $2$ つの正の解」は、下に凸の放物線 $f(x)=x^2-2ax+a+2$ が、$x$ 軸の正の側で $2$ 点と交わる、と読み替える。

グラフでこれを保証する条件は $3$ つ。まず $2$ 点で交わる(判別式 $>0$)。次に交点が両方とも正の側にある。

「両方正」を式にするのが急所。軸($x=a$)が正の側にあり($a>0$)、かつ $y$ 軸との交点 $f(0)=a+2$ が正($x=0$ より右で交わる)。この $3$ 条件を連立する。

① $3$ 条件を書く。 $f(x)=x^2-2ax+a+2$。軸は $x=a$。

• 判別式:$\frac{D}{4}=a^2-(a+2)>0$、すなわち $a^2-a-2>0$、$(a-2)(a+1)>0$ → $a<-1$ または $a>2$。
• 軸:$a>0$。
• $f(0)=a+2>0$ → $a>-2$。

② 連立する。 $3$ つを同時に満たす $a$ を数直線でとる。$a>0$ と組み合わせると $a<-1$ の側は消え、$a>2$ が残る。$a>-2$ は $a>2$ に含まれる。よって

$$a>2$$

まとめ:「解の符号・位置」の問題は、解を求めずにグラフの形に翻訳する。ともに正なら「判別式・軸・$f(0)$」の $3$ 点セット。$1$ つでも落とすと範囲がずれるので、必ず $3$ つそろえて連立する。

発展 — 一歩先へ。 「$2$ 次方程式の解の配置」は、下に凸のグラフを $3$ つの視点で縛る: ①判別式(交わる回数)②軸の位置(左右のバランス)③境界での符号 $f(k)$(境界の左か右か)。この $3$ 点セットで、「$2$ 解がともに $k$ より大」「$k$ を $1$ つはさむ」など、あらゆる配置条件が書ける。解を求めずにグラフで縛るのが要だ。

別解

別解 — 解と係数の関係で「和も積も正」と読む(得意な人向けの視点)。 $2$ 解 $\alpha ,\beta$ が「異なる」「ともに正」を、解と係数の関係で書く。

異なる $2$ 実解: 判別式 $\frac{D}{4}=a^2-(a+2)=a^2-a-2=(a-2)(a+1)>0$、すなわち $a<-1$ または $a>2$。

ともに正 $⟺$ 和も積も正: $\alpha +\beta =2a>0$($a>0$)かつ $\alpha \beta =a+2>0$($a>-2$)。

$3$ つを連立: $(a<-1\text{ or }a>2)$ かつ $a>0$ かつ $a>-2$。共通部分は $a>2$。

グラフの $3$ 条件(判別式・軸・$f(0)$)で解く本解と同じ結論。「$2$ 解がともに正 $⟺$ 和 $>0$ かつ積 $>0$」は、解を求めずに符号だけ判定する便利な言い換え。軸 $>0$ は「和 $>0$」、$f(0)>0$ は「積 $>0$」にそれぞれ対応している。