すべての実数で成り立つ不等式(絶対不等式)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $x^2$ の係数が $1>0$ で下に凸。「すべての $x$ で正」は、グラフが $x$ 軸より上にある、つまり $x$ 軸と交わらないこと。

下に凸のグラフが $x$ 軸と交わらない条件は、判別式 $<0$。

$\frac{D}{4}=(a-1{)}^2-(2a+1)<0$ を計算すると $a^2-4a<0$、すなわち $a(a-4)<0$。これを解いて $0<a<4$。

① 判別式を作る。 $f(x)=x^2+2(a-1)x+2a+1$。$x$ の係数が $2(a-1)$ なので

$$\frac{D}{4}=(a-1{)}^2-(2a+1)$$

② 条件を解く。 $D<0$ より

$$(a-1{)}^2-(2a+1)<0⟹a^2-2a+1-2a-1<0⟹a^2-4a<0$$

$a(a-4)<0$ より

$$0<a<4$$

まとめ:「すべての $x$ で正」は、下に凸なら「$x$ 軸と交わらない」= $D<0$。等号ありの $\ge 0$ なら $D\le 0$(接してもよい)に変わる。不等号に等号が付くかどうかで判別式の等号も連動する。

発展 — 一歩先へ。 「すべての $x$ で $a{x}^2+bx+c>0$」($a>0$)は判別式 $<0$。$a<0$ なら「すべての $x$ で $<0$」が判別式 $<0$。この“絶対不等式”の条件は、$2$ 次形式の正定値性(行列の固有値がすべて正)の $1$ 変数版で、最適化や統計(共分散行列)で重要な概念につながる。

別解

別解 — 平方完成して「頂点の高さ $>0$」で読む(苦手な人向け)。 判別式を使わず、平方完成で頂点の高さを直接見る。

$$x^2+2(a-1)x+2a+1=(x+(a-1){)}^2+(2a+1)-(a-1{)}^2=(x+(a-1){)}^2-(a^2-4a).$$

下に凸だから、この関数の最小値は頂点の高さ $-(a^2-4a)$。「すべての $x$ で正」とは、この最小値が正であること。

$$-(a^2-4a)>0⟺a^2-4a<0⟺a(a-4)<0⟺0<a<4.$$

判別式 $<0$(本解)と同じ式 $a^2-4a<0$ に着く。じつは「頂点の高さ $>0$」と「判別式 $<0$」は同じことで、頂点の高さ $=-\frac{D}{4}$(下に凸のとき)。平方完成すると、なぜ判別式の符号で決まるかが目に見える。