放物線と直線が正の側で2点で交わる条件

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 交点の $x$ 座標は、$y$ を消去した方程式 $x^2=2x+a$、すなわち $x^2-2x-a=0$ の解。この方程式を主役にする。

問われているのは「異なる $2$ 交点で、$x$ 座標がともに正」。これは前の問題と同じ「$2$ 次方程式が異なる $2$ 正解」の形だ。

下に凸の $f(x)=x^2-2x-a$ で $3$ 条件: 判別式 $>0$、軸 $x=1>0$(これは自動)、$f(0)=-a>0$。整理すると $-1<a<0$。

① 連立して方程式にする。 $x^2=2x+a$ より

$$x^2-2x-a=0$$

$g(x)=x^2-2x-a$ とおく。これが異なる $2$ 正解をもてばよい。

② $3$ 条件を書く。 軸は $x=1$。

• 判別式:$\frac{D}{4}=1-(-a)=1+a>0$ → $a>-1$。
• 軸:$x=1>0$(つねに成立)。
• $g(0)=-a>0$ → $a<0$。

③ 連立する。 $a>-1$ かつ $a<0$ より

$$-1<a<0$$

まとめ:$2$ 曲線の交点の位置は「連立した方程式の解の位置」に翻訳する。ここでは軸 $x=1$ が最初から正なので、判別式と $g(0)$ の $2$ 条件で決まった。交点そのものを求めずに済むのが解の配置の強み。

発展 — 一歩先へ。 放物線と直線の交点の $x$ 座標は、$y$ を消去した $2$ 次方程式の解。「交点が正の側」「交点が区間内」などの図形条件は、すべてこの $2$ 次方程式の解の配置に翻訳できる。逆に、$2$ 次方程式の解の配置問題は、放物線と直線(または $x$ 軸)の交わりとして図で見ると分かりやすい。

別解

別解 — 解と係数の関係で「和 $>0$ かつ積 $>0$」(得意な人向けの視点)。 $x^2-2x-a=0$ の $2$ 解 $\alpha ,\beta$ が「異なる」「ともに正」を、和と積で書く。

異なる $2$ 実解: 判別式 $\frac{D}{4}=1-(-a)=1+a>0$、すなわち $a>-1$。

ともに正: 和 $\alpha +\beta =2>0$(これは常に成立)かつ 積 $\alpha \beta =-a>0$、すなわち $a<0$。

連立して $-1<a<0$。

放物線と直線の交点を、方程式 $x^2-2x-a=0$ に翻訳した後は、前問と同じ「$2$ 正解」の判定。和 $=2$ が常に正なので、実質は「判別式 $>0$ かつ 積 $>0$」の $2$ 条件で決まる。図形の問題(放物線と直線)が、解と係数の関係でこんなに簡単になる。