数学I / 2次方程式・2次不等式

sinθ, cosθ を2解とする方程式(解と係数と三角)

実戦編2次方程式解と係数三角関数相互関係単元横断

問題

$0 < θ < \frac{π}{2}$ とする。 $sin θ, cos θ$ を $2$ つの解とする $2$ 次方程式が $x^{2} + a x + b = 0$ であるとき、 $a$ と $b$ の間に成り立つ関係式を求めよ。

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解と係数で $sin θ + cos θ = - a, sin θ cos θ = b$ 。 $(sin θ + cos θ)^{2} = sin^{2} θ + cos^{2} θ + 2 sin θ cos θ = 1 + 2 b$ 。左辺は $a^{2}$ 。

解答・解説

方針

解と係数の関係で $a = - (sin θ + cos θ), b = sin θ cos θ$ 。三角比の相互関係 $sin^{2} θ + cos^{2} θ = 1$ を使って $θ$ を消去する。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $sin θ, cos θ$ が解 — なら解と係数の関係で

$a = - (sin θ + cos θ)$ 、 $b = sin θ cos θ$ 。

「 $a, b$ の関係式」とは、ここから $θ$ を消去した式のこと。和と積をつなぐ恒等式といえば $(sin θ + cos θ)^{2} = 1 + 2 sin θ cos θ$ ( $sin^{2} + cos^{2} = 1$ の変装)— これに代入すれば $θ$ が消える。

重要解と係数:

sin θ + cos θ = - a, sin θ cos θ = b

。相互関係:

sin^{2} θ + cos^{2} θ = 1

① 解と係数。 $sin θ, cos θ$ を解とする $x^{2} + a x + b = 0$ で $sin θ + cos θ = - a, sin θ cos θ = b .$ ② 相互関係で $θ$ を消去。 $(sin θ + cos θ)^{2} = sin^{2} θ + cos^{2} θ + 2 sin θ cos θ = 1 + 2 sin θ cos θ$ 。左辺は $(- a)^{2} = a^{2}$ 、右辺は $1 + 2 b$ 。

③ 関係式。 $a^{2} = 1 + 2 b ⟺ a^{2} - 2 b = 1.$

まとめ 解と係数で和 $- a$ ・積 $b$ 、相互関係 $sin^{2} + cos^{2} = 1$ で $θ$ を消去すると $a^{2} - 2 b = 1$ 。 $2$ 次方程式(解と係数)と三角(相互関係)の融合。

発展 — 一歩先へ。 逆向きの問い「放物線 $a^{2} = 1 + 2 b$ 上の点ならいつでも $sin, cos$ から作れるか?」の答えは否で、実現するのは $- 2 \leq a < - 1$ の弧だけ(判別式 $\geq 0$ と $sin, cos$ の範囲の制約)。「消去して得た関係式」と「実現する範囲」の2段構えは、軌跡の問題の普遍の作法 — $s = x + y, p = x y$ の存在条件 $s^{2} \geq 4 p$ と同じ構図が、三角の衣装で現れている。

答

解と係数から $a = - (sin θ + cos θ), b = sin θ cos θ$ 。 $(sin θ + cos θ)^{2} = 1 + 2 sin θ cos θ$ に代入して $a^{2} = 1 + 2 b$ 、すなわち $a^{2} - 2 b = 1$ 。

別解

範囲まで込みで答える(存在条件の完全化)。 関係式 $a^{2} = 1 + 2 b$ を出すだけなら本解の消去で終わるが、「どんな $(a, b)$ がこの形で実現するか」まで見ると視界が広がる。

$t = sin θ + cos θ$ とおくと、 $0 < θ < \frac{π}{2}$ では $t$ は $1$ より大きく $2$ 以下( $θ = \frac{π}{4}$ で最大)。よって

$a = - t \in [- 2, - 1), b = \frac{t ^{2} - 1}{2} \in (0, \frac{1}{2}]$

つまり $(a, b)$ は放物線 $a^{2} = 1 + 2 b$ の一部の弧だけを動く。関係式は「乗っている線路」、範囲は「走れる区間」— 2つ揃って初めて軌跡の完全な答えになる。

この「和と積の存在領域」という見方は、 $s = x + y, p = x y$ の実数条件( $s^{2} \geq 4 p$ )の議論と同族で、軌跡・領域の単元で主役に育っていく。

ポイント

解と係数で $sin θ + cos θ = - a, sin θ cos θ = b$ 。
$(sin θ + cos θ)^{2} = 1 + 2 sin θ cos θ$ 。
$a^{2} = 1 + 2 b$ 、すなわち $a^{2} - 2 b = 1$ 。

よくある間違い

解と係数の符号を誤り $a = sin θ + cos θ$ とする( $x^{2} + a x + b$ の和は $- a$ )。
関係式 $a^{2} = 1 + 2 b$ を出して終わり、検算( $θ = \frac{π}{4}$ で $a = - 2, b = \frac{1}{2}$ → $2 = 1 + 1$ ✓)をしない。
$θ$ の範囲から来る $a, b$ の付帯条件(存在範囲)に気づかず、「関係式上の全点が実現する」と思い込む。