数学I / 2次方程式・2次不等式

4次式が常に正であること

最難関編不等式の証明平方の和

問題

すべての実数 $x$ に対して、次の不等式が成り立つことを示せ。

$x^{4} - x + \frac{1}{2} > 0$

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$x^{4}$ と $- x$ は遠すぎて直接組めない — 間を取り持つ $x^{2}$ の項を「0 = −x²+x²」として自分で持ち込む。定数 $\frac{1}{2}$ をどう2つに割れば、両方の組が完全平方になるか。

解答・解説

方針

4次式に判別式は使えない。「平方の和に分解できれば0以上」が唯一の望み。1/2 を 1/4+1/4 に割って、x⁴−x²+1/4(=(x²−1/2)²)と x²−x+1/4(=(x−1/2)²)の2組に振り分けると、ちょうど2つの完全平方が現れる。等号は2つの平方が同時に0のときだが、それは起こらない。だから真に正。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 4次式の正値性に、判別式はない。頼れるのは「平方の和は0以上」だけだ。

ところが $x^{4}$ と $- x$ は次数が離れすぎて、直接は組めない。そこで橋渡しの $x^{2}$ を、 $0 = - x^{2} + x^{2}$ の形で自前で挿入する。さらに定数 $\frac{1}{2}$ を $\frac{1}{4} + \frac{1}{4}$ に割って2組に配る:

$x^{4} - x^{2} + \frac{1}{4} と x^{2} - x + \frac{1}{4}$

どちらもぴったり完全平方になる。最後に「等号(両方の平方が同時に0)が起こり得ない」ことを確かめれば、 $\geq 0$ が $> 0$ に格上げされる。

重要高次式の正値性は平方の和への分解。等号の可否は「すべての平方が同時に0になれるか」で判定する

① 分解する。

$x^{4} - x + \frac{1}{2} = (x^{4} - x^{2} + \frac{1}{4}) + (x^{2} - x + \frac{1}{4}) = (x^{2} - \frac{1}{2})^{2} + (x - \frac{1}{2})^{2}$

展開して確かめると $x^{4} - x^{2} + \frac{1}{4} + x^{2} - x + \frac{1}{4} = x^{4} - x + \frac{1}{2}$ ✓。

② 0以上を確認する。 平方の和だから、すべての実数 $x$ で

$x^{4} - x + \frac{1}{2} \geq 0$

③ 等号が起こらないことを確認する。 等号には $x^{2} = \frac{1}{2}$ かつ $x = \frac{1}{2}$ が必要。だが $x = \frac{1}{2}$ のとき $x^{2} = \frac{1}{4} \neq = \frac{1}{2}$ 。2つの平方は同時に0になれない。よって不等号は真に成り立つ:

$x^{4} - x + \frac{1}{2} > 0$

y=x⁴−x+1/2。x≈0.63 で最小値 ≈0.027 — x軸すれすれまで迫るが、決して触れない。この「わずかに正」を式で保証するのが平方和への分解

まとめ: 橋渡しの項を0の形で挿入し、定数を割って平方2つに配る。4次の正値性証明の代表的な設計だ。最後の急所は、 $> 0$ と $\geq 0$ の違いを分ける「等号の同時成立チェック」。平方和分解の答案は、必ずここまで書いて閉じる。

答

証明( $x^{4} - x + \frac{1}{2} = (x^{2} - \frac{1}{2})^{2} + (x - \frac{1}{2})^{2}$ と2つの平方の和に分解)

別解

相加平均・相乗平均で $x$ を作る(数IIの道具を先取りする人へ)。 $x \leq 0$ のときは簡単だ。 $x^{4} \geq 0, - x \geq 0$ だから左辺 $\geq \frac{1}{2} > 0$ 。

勝負は $x > 0$ のとき。4つの正の数 $x^{4}, \frac{1}{6}, \frac{1}{6}, \frac{1}{6}$ に相加平均・相乗平均の関係(4項版)を使うと

$x^{4} + \frac{1}{2} = x^{4} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} \geq 4 4 x^{4} \cdot \frac{1}{6 ^{3}} = \frac{4}{4 216} x$

ここで $4^{4} = 256 > 216$ だから $\frac{4}{4 216} > 1$ 。つまり $x^{4} + \frac{1}{2} > x$ で、移項すれば結論が出る。

ポイントは、定数 $\frac{1}{2}$ を3等分したこと。こうすると4乗根の中で $x$ の1乗がちょうど1本残る( $\frac{1}{4} + \frac{1}{4}$ の2分割では $x$ の1乗が作れない)。うまくいく分割を逆算する感覚は、不等式の設計力そのものだ。

ポイント

$0 = - x^{2} + x^{2}$ の挿入と $\frac{1}{2} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4}$ の配分。
$(x^{2} - \frac{1}{2})^{2} + (x - \frac{1}{2})^{2}$ の平方和。
2つの平方は同時に0になれない → 真に正。

よくある間違い

4次式に判別式を使おうとする。判別式は2次専用の道具。高次の正値性は平方の和(または場合分け+評価)で示す。
1つの完全平方 $(x^{2} + a x + b)^{2}$ だけで書き切ろうとして挫折する。1次の項が余って符号を制御できない。2つの平方に配るのが設計の要。
$\geq 0$ を示して満足し、等号が起こらないことの確認を飛ばす。 $x^{2} = \frac{1}{2}$ と $x = \frac{1}{2}$ は同時に成立しない。ここまで書いて $>$ の証明が閉じる。