解の配置(負の2解・区間で分離された2解)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 解の配置は、グラフの絵から条件を拾う問題だ。

(1) の「$2$ つの負の解」は、$D$・軸・$f(0)$ の $3$ 点セットで決まる。

(2) の「区間で分離された $2$ 解」は、またぐ点での符号だけで決まる。$f(0)$ と $f(2)$ の符号を見れば足り、$D$ は要らない。

配置の型が変わると、必要な条件の顔ぶれも変わる。どの点の符号が効くかを、絵で確かめながら進めたい。

$f(x)=x^2-2ax+a+6$、下に凸。

(1) 異なる2つの負の解

$x$ 軸の負の部分で2点交差する条件は3つ。

① $D>0$:

$$\frac{D}{4}=a^2-(a+6)=a^2-a-6=(a-3)(a+2)>0$$

から $a<-2$ または $a>3$。

② 軸 $<0$: 軸 $x=a<0$、つまり $a<0$。

③ $f(0)>0$:

$$f(0)=a+6>0\text{よって}a>-6$$

3つをすべて満たすのは

$$-6<a<-2$$

(2) 1解が $0<x<2$、もう1解が $x>2$

2解が $x=2$ を挟んで分かれるので、$x=2$ で放物線が $x$ 軸より下 → $f(2)<0$。さらに、両方の解が $x=0$ より右にあるので、$x=0$ で放物線が上 → $f(0)>0$。

$$f(0)=a+6>0\text{よって}a>-6$$

$$f(2)=4-4a+a+6=10-3a<0\text{よって}a>\frac{10}{3}$$

両方を満たすのは

$$a>\frac{10}{3}$$

まとめ:解の配置は、放物線と $x$ 軸のグラフをかいて『$D$・軸・端の点での符号($f(0)$ や $f(2)$)』を条件に翻訳する。どの点の符号が効くかを、図で見きわめるのがコツだ。

発展 — 一歩先へ。 (2) で使った「またぐ点で符号が変われば、その間に解がある」は、中間値の定理と呼ばれる連続関数の一般法則だ。

$f(0)$ と $f(2)$ が異符号なら、グラフはその間で必ず $x$ 軸を横切る。これは $2$ 次関数に限らず、途切れなくつながった関数すべてに成り立つ。

だから (2) は判別式も軸も要らなかった。$2$ 点の符号だけで解の存在が保証される。逆に (1) の「同じ側に $2$ つ」は符号の変化では捉えられないので、$D$ と軸を足して細かく縛る必要が出てくる。

別解

別解 — 解の公式で $2$ 解を書き、数直線に置く(公式で押すルート)。 配置の条件を暗記するかわりに、$2$ 解を実際に書き出してしまう。

$x^2-2ax+a+6=0$ を解くと $x=a\pm \sqrt{a^2-a-6}$。異なる $2$ 実数解をもつには、根号の中が正、つまり $a^2-a-6>0$ が要る。

(1) の「$2$ つとも負」は、大きいほうの解が負なら十分だ。大きいほうが負なら、小さいほうはもっと負になる。

$$a+\sqrt{a^2-a-6}<0.$$

移項して $\sqrt{a^2-a-6}<-a$。左辺が正だから右辺も正、つまり $a<0$。両辺を $2$ 乗して $a^2-a-6<a^2$、これは $-a-6<0$、$a>-6$。根号内が正($a<-2$)と合わせて $-6<a<-2$。

(2) は、$2$ 解のあいだにちょうど $2$ が入り、しかも両解が正、という配置だ。$2$ 解は軸 $x=a$ から左右に等距離 $\sqrt{a^2-a-6}$ だけ離れている。$2$ が $2$ 解の間に入るのは、軸から $2$ までの距離が、この半幅より小さいときだ。

$$|2-a|<\sqrt{a^2-a-6}.$$

これは $a-\sqrt{a^2-a-6}<2<a+\sqrt{a^2-a-6}$ と同じで、$2$ が $2$ 解の間にあることをそのまま表す。両辺を $2$ 乗すると $(2-a{)}^2<a^2-a-6$、展開して $4-4a<-a-6$、$-3a<-10$、$a>\frac{10}{3}$。この $1$ 本で、根号内が正($a>3$)も自動的に含まれる。

あとは小さいほうの解が正であることを確かめる。$a>\frac{10}{3}>0$ で、$a^2-a-6<a^2$ だから $\sqrt{a^2-a-6}<a$、つまり $a-\sqrt{a^2-a-6}>0$。こうして小さいほうの解は $0$ と $2$ の間、大きいほうは $2$ より大きい配置になり、$a>\frac{10}{3}$。

数直線に解の位置を直接置くと、グラフの $3$ 点セットを覚えていなくても、本解と同じ $-6<a<-2$、$a>\frac{10}{3}$ に届く。