数学I / 2次方程式・2次不等式

連立2次不等式と整数解

★★ 標準連立不等式

問題

連立不等式

${x^{2} - x - 6 < 0 x^{2} - 4 x + 3 \geq 0$

を解け。また、この連立不等式を満たす整数 $x$ をすべて求めよ。

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それぞれ因数分解して解き、共通範囲を出す。そのあと『範囲内の整数を数える』— 端が含まれるか( $\leq$ / $<$ )で個数が変わる。

解答・解説

連立2次不等式は、別々に解いて共通部分をとる。そのあと『整数解が何個か』を、共通範囲の中の整数を端に注意して数える。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 前半は定型作業だ。2つの不等式を別々に解いて、共通部分をとる。

後半の「整数を数える」で主役が交代する。端の値を含むか含まないかが、そのまま答えの個数を左右する。

数直線を描いて、端に「含む●・含まない○」の印を打ってから数える。この一手間が、いちばん安い保険になる。

①: −2 < x < 3、②: x ≤ 1 または 3 ≤ x — 共通範囲 −2 < x ≤ 1 の整数は −1, 0, 1

公式

(x - α) (x - β) < 0

は内側、

\geq 0

は外側(境界を含む)

それぞれ解く。

1つ目 $x^{2} - x - 6 < 0$ を因数分解すると

$(x + 2) (x - 3) < 0$

$< 0$ は内側なので $- 2 < x < 3$ 。

2つ目 $x^{2} - 4 x + 3 \geq 0$ を因数分解すると

$(x - 1) (x - 3) \geq 0$

$\geq 0$ は外側なので $x \leq 1$ または $x \geq 3$ 。

共通部分 $- 2 < x < 3$ と『 $x \leq 1$ または $x \geq 3$ 』の両方を満たすのは

$- 2 < x \leq 1$

この範囲の整数は、 $- 2$ は含まない(<)、 $1$ は含む(≦)ので

$x = - 1, 0, 1$

まとめ:の3個。連立2次不等式は『別々に解いて共通部分』、整数は端の含む・含まないに注意して数える。

発展 — 一歩先へ。 この型の発展形が「整数解がちょうど $n$ 個になるように定数の範囲を決めよ」という逆問題だ。端の含む・含まないの感覚が、そこでは答えの生命線になる。

今日の「別々に解く → 共通部分 → 端の検分」という3段は、その応用でも骨格として変わらない。

答

$- 2 < x \leq 1$ 、整数 $x = - 1, 0, 1$

2つの不等式を「区間の表」で同時に処理する方法もある。

出てくる交点をぜんぶ並べると $- 2, 1, 3$ 。数直線がこの3点で4つの区間に切れる。

各区間で、 $(x + 2) (x - 3) < 0$ と $(x - 1) (x - 3) \geq 0$ の成否を○×で書き込む。

境目は個別に確認する。 $x = 1$ は2つ目が $= 0$ で成立( $\geq$ だから)、1つ目も成立。 $x = - 2$ と $x = 3$ は1つ目が不成立。

よって $- 2 < x \leq 1$ 。区間表は、不等式が3本以上に増えても同じ書式で押せるのが強みだ。