因数分解による2次方程式の解法

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $2$ 次方程式は、まず因数分解できないかを疑う。できれば解の公式より圧倒的に速い。

因数分解の後に使うのは、たった $1$ つの原理 —

$AB=0$ ならば $A=0$ または $B=0$

(2)の $x^2=4x$ は、両辺を $x$ で割ってはいけない。割ると $x=0$ という解が消える。必ず $x^2-4x=0$ と移項し、$x(x-4)=0$ と因数分解する — これが最大の落とし穴である。

(1) $x^2+7x+10$ を因数分解。かけて10・たして7の2数は2と5。

$$(x+2)(x+5)=0$$

積が0なので、$x+2=0$ か $x+5=0$。よって $x=-2,-5$。

(2) $x^2=4x$ は、まず右辺を左に移して $=0$ の形にする。

$$x^2-4x=0$$

共通因数 $x$ でくくる。

$$x(x-4)=0$$

$x=0$ か $x-4=0$。よって $x=0,4$。(両辺を $x$ で割って $x=4$ だけにしないこと。$x=0$ の解が消えてしまう。)

(3) $2x^2-5x-3$ をたすき掛けで因数分解する。

$$2x^2-5x-3=(2x+1)(x-3)$$

よって $(2x+1)(x-3)=0$ から $2x+1=0$ か $x-3=0$、$x=-\frac{1}{2},3$。

まとめ:2次方程式はまず因数分解を試す。『積が0 → 各因数が0』が解法の芯。(2)で両辺を $x$ で割らない(解を落とす)ことに注意。

発展 — 一歩先へ。 「$x$ で割ってはいけない」理由を、論理の言葉で言い直すとこうだ — 割り算は「$0$ で割らない」という条件つきの操作だから。$x^2=4x$ の両辺を $x$ で割るとき、暗黙に $x\ne 0$ を仮定している。だから $x=0$ が答えの候補から消えてしまう。

正しい手順は「移項して $=0$ の形にし、因数分解する」— これなら $0$ で割る危険が原理的にない。方程式を解くときは必ず $=0$ の形に集めてから、が鉄則である。この教訓は $3$ 次方程式でも、分数方程式でも変わらない。

別解

出した解が正しいかは、解と係数の関係で $10$ 秒チェックできる。

$x^2+bx+c=0$ の $2$ 解を $\alpha ,\beta$ とすると

$$\alpha +\beta =-b,\alpha \beta =c$$

和は $x$ の係数の符号を変えたもの、積は定数項 — 因数分解 $(x-\alpha )(x-\beta )=x^2-(\alpha +\beta )x+\alpha \beta$ を展開すれば当たり前だ。

(1) $x^2+7x+10=0$、解 $-2,-5$:

• 和: $-2+(-5)=-7$ ✓($x$ の係数 $7$ の符号を変えたもの)
• 積: $(-2)\times (-5)=10$ ✓(定数項)

合格 — 符号ミスがあれば、この $2$ 行で必ず露見する。

$x^2$ の係数が $1$ でない(3)では、$a{x}^2+bx+c=0$ に対し

$$\alpha +\beta =-\frac{b}{a},\alpha \beta =\frac{c}{a}$$

解 $-\frac{1}{2},3$ で確かめると、和 $=\frac{5}{2}=-\frac{-5}{2}$ ✓、積 $=-\frac{3}{2}=\frac{-3}{2}$ ✓。

因数分解の $2$ 数探しと、解と係数の関係は、同じことの裏表。「かけて $10$、たして $7$」で $2$ 数を探す作業は、解の和と積を先に知っていることに他ならない。だから検算にも使える。