3つの2次不等式の連立

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $3$ つの不等式は、まず個別に因数分解して解く。

$x^2-x-2>0$ は $(x-2)(x+1)>0$ で $x<-1$ または $x>2$。$x^2-4x+3\le 0$ は $(x-1)(x-3)\le 0$ で $1\le x\le 3$。$x^2<9$ は $-3<x<3$。

$3$ つの範囲を数直線に並べ、すべてが重なる部分をとる。共通部分は $2<x<3$。

① 各不等式を解く。

• $x^2-x-2>0$:$(x-2)(x+1)>0$ より $x<-1$ または $x>2$。
• $x^2-4x+3\le 0$:$(x-1)(x-3)\le 0$ より $1\le x\le 3$。
• $x^2<9$:$-3<x<3$。

② 重なりをとる。 まず後ろ $2$ 本 $1\le x\le 3$ と $-3<x<3$ の重なりは $1\le x<3$。これと $1$ 本目($x<-1$ または $x>2$)の重なりをとる。$1\le x<3$ のうち「$x<-1$」を満たす部分はなく、「$x>2$」を満たす部分は $2<x<3$。よって

$$2<x<3$$

まとめ:連立不等式は「個別に解く → 重ねる」。境目($-1,1,2,3$ と $\pm 3$)を書き出し、端点で等号が付くか($\le$ か $<$ か)を $1$ つずつ確かめる。$x=3$ は $2$ 本目では等号で入るが $3$ 本目($<3$)で外れるので、結局含まれない。

発展 — 一歩先へ。 連立不等式の解は、各解集合の共通部分(積集合)。数直線上の区間の交わりは、端点を小さい順に並べて“最も内側”をとる操作。$3$ つ以上でも同じで、区間演算(インターバル計算)として機械的に処理できる。プログラムで領域を扱うときの基本操作でもある。

別解

別解 — 数直線に $3$ 本の帯を描いて重なりを塗る(視覚で確実なルート)。 $3$ つの不等式の解を、同じ数直線に色分けの帯で描く。

• $x^2-x-2>0$: $x<-1$ と $x>2$(外側の $2$ 本)。
• $x^2-4x+3\le 0$: $1\le x\le 3$(真ん中の $1$ 本)。
• $x^2<9$: $-3<x<3$(広い $1$ 本)。

$3$ 本すべてが重なる区間を探す。$x>2$(第 $1$)と $1\le x\le 3$(第 $2$)と $-3<x<3$(第 $3$)の共通部分は $2<x<3$。$x<-1$ の側は、第 $2$ の $1\le x\le 3$ と重ならないので消える。

答えは $2<x<3$。個別に解いて共通部分をとる(本解)のと同じだが、数直線に帯を重ねて描くと、「$x<-1$ 側が第 $2$ の条件で消える」ことや、端点の $\le$ と $<$ の違い($x=2$ は第 $1$ の $>$ で除外、$x=3$ は第 $3$ の $<$ で除外)が目で確認できる。