3項の積和方程式は必ず実数解をもつ

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 実数解の存在を示す道は、大きく二択だ。判別式か、値の符号(中間値の考え)か。

判別式ルートでは、対称式 $(a+b+c{)}^2-3(ab+bc+ca)$ の符号が問題になる。ここで恒等式

$$(a+b+c{)}^2-3(ab+bc+ca)=\frac{1}{2}\left\{(a-b{)}^2+(b-c{)}^2+(c-a{)}^2\right\}$$

を思い出せると強い。右辺は差の平方和。0以上が即断できる。

もう1つの道は代入だ。$x=b$ を入れると第2・第3項が消えて、$f(b)=(b-a)(b-c)$ だけが残る。$a\le b\le c$ と並べればこれは0以下。上に開く放物線が0以下の値をとるなら、$x$ 軸と必ず交わる。どちらの道でも景色が良い。

① 展開して判別式を計算する。 左辺を $f(x)$ とすると

$$f(x)=3x^2-2(a+b+c)x+(ab+bc+ca)$$

判別式は

$$\frac{D}{4}=(a+b+c{)}^2-3(ab+bc+ca)=\frac{1}{2}\left\{(a-b{)}^2+(b-c{)}^2+(c-a{)}^2\right\}\ge 0$$

右の恒等式は、両辺を展開すればどちらも $a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca$ になって一致する。よって実数解をもつ。

② 別の見方(代入)。 大小を $a\le b\le c$ と並べ替えても方程式は変わらない。$x=b$ を代入すると

$$f(b)=(b-a)(b-c)\le 0$$

$f$ は上に開く放物線だ。値が0以下になる点があるから、グラフは $x$ 軸と共有点をもつ。実数解の存在が、グラフの言葉でも見える。

③ 重解の条件。 重解 ⟺ $D=0$ ⟺ $(a-b{)}^2+(b-c{)}^2+(c-a{)}^2=0$。実数の平方和が0になるのは、全部が0のときだけ。よって $a=b=c$ である。このとき方程式は $3(x-a{)}^2=0$ となり、たしかに $x=a$ の重解をもつ。

まとめ: 対称な式には、対称式の恒等式か、対称な点の代入が効く。本命は「判別式が差の平方和に畳まれる」恒等式。裏の近道は代入 $f(b)\le 0$ だ。重解の条件が $a=b=c$ という完全な対称の瞬間に一致するのも美しい。

発展 — 一歩先へ。 実はこの方程式の実数解は、必ず $a,b,c$ の最小値と最大値のあいだにある。別解の見方を使うと、その位置情報まで手に入る。解の存在だけでなく、解の居場所まで語れる式なのだ。

別解

同符号の積の和で見る(得意な人向けの第3の視点)。 $u=x-a,v=x-b,w=x-c$ とおく。方程式は

$$uv+vw+wu=0$$

と書ける。ここで $x$ が $a,b,c$ の最大値より大きいとしよう。すると $u,v,w$ はすべて正。積の和 $uv+vw+wu$ は正になってしまい、0にはなれない。$x$ が最小値より小さいときも同じだ。$u,v,w$ はすべて負で、積の和はやはり正。

つまり、解が存在するなら必ず $a,b,c$ の最小値と最大値のあいだにある。

そのうえで存在を言うには、本解の材料を使えばよい。真ん中の値で $f(b)=(b-a)(b-c)\le 0$。遠方では $f>0$(上に開く放物線)。符号が変わる区間それぞれに解がある。$a\le b\le c$ とすれば「$a$ 側と $b$ のあいだ」「$b$ と $c$ 側のあいだ」に1つずつだ。

判別式は「実数解があるか」だけを答える。この見方は「どこにあるか」まで教えてくれる。