2次不等式(D=0・D<0の場合)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $D=0$ や $D<0$ のとき、$2$ 次不等式の答えは特殊な形になる。「範囲」ではなく「すべて」「解なし」「$1$ 点だけ」だ。

平方完成して、$y$ の値がどこにあるかを見るのが確実。

• (1) $(x-4{)}^2>0$ — $2$ 乗は $0$ 以上。$0$ になるのは $x=4$ のときだけなので、それ以外のすべて
• (3) $(x-2{)}^2+3>0$ — 最小でも $3$。常に成立するので、すべての実数

「範囲が出ないと不安」になるが、「すべて」「なし」も立派な答えである。

(1)

$x^2-8x+16=(x-4{)}^2$ なので

$$(x-4{)}^2>0$$

2乗は0以上で、0になるのは $x=4$ のときだけ。$>0$(0より大きい)を満たすのは、$x=4$ 以外のすべての実数。

(2) $x^2+6x+9=(x+3{)}^2$ なので

$$(x+3{)}^2\le 0$$

2乗は0以上なので、$\le 0$(0以下)になるのは $=0$ のときだけ。

$$x=-3$$

(3)

平方完成すると

$$x^2-4x+7=(x-2{)}^2+3$$

$(x-2{)}^2\ge 0$ なので、これは必ず3以上、つまり必ず正。$>0$ はいつも成り立つので、答えはすべての実数。

(4) 平方完成すると

$$x^2+2x+5=(x+1{)}^2+4$$

これは必ず4以上で、必ず正。$\le 0$(0以下)になることはないので、解なし。

まとめ:$D\le 0$ の2次不等式は、平方完成して『いつも正か・0になるのはどこか』を見る。答えが『◯以外のすべて』『すべての実数』『解なし』になるのが特徴だ。

発展 — 一歩先へ。 (3)の「すべての実数で $x^2-4x+7>0$」は、絶対不等式と呼ばれる。$D<0$ かつ下に凸 — この $2$ 条件が「常に正」の正体だ。次の問題では、この条件を逆に使って $m$ の範囲を求めることになる。

$D=0$ の場合の答え($x=-3$ のみ、$4$ 以外のすべて)は、「範囲」ではなく「点」で答えるという珍しい形。$2$ 次不等式の解が「$1$ 点」や「$1$ 点を除く全体」になることがある — この可能性を知らないと、答えが出せずに固まってしまう。答えの形が $5$ 通りある(範囲・外側・すべて・なし・$1$ 点)ことを、あらかじめ知っておくのが大事だ。

別解

$4$ 問の答えを、判別式と不等号の組み合わせ表で整理すると、丸暗記なしで導ける($x^2$ の係数が正の場合)。

(1) $x^2-8x+16>0$: $D=0$(重解 $4$)、不等号 $>$ → $4$ 以外のすべて ✓

(2) $x^2+6x+9\leqq 0$: $D=0$(重解 $-3$)、不等号 $\leqq$ → $x=-3$ のみ ✓

(3) $x^2-4x+7>0$: $D<0$、不等号 $>$ → すべての実数 ✓

(4) $x^2+2x+5<0$: $D<0$、不等号 $<$ → 解なし ✓

表の $D=0$ の行が、いちばん間違えやすい。$(x-4{)}^2>0$ は「$0$ より大きい」なので $x=4$($2$ 乗が $0$ になる)だけが除外される — 「すべて」と答えると $x=4$ を含んでしまい誤りだ。等号の有無で答えが変わる、繊細な行である。

$D<0$ の行は「グラフが $x$ 軸に届かない」= $y$ の符号が一定 — だから答えは「全部」か「なし」の $2$ 択にしかならない。グラフの絵を思い浮かべれば、表は覚えなくても再現できる。