パラメータの全称条件と主役の交代

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 変数が2つあるときは「動く方を主役にする」。この問題で動くのは $t$ だ。そこで左辺を $t$ の式として読み直す:

$$g(t)=(x-1)t+(x^2-2)$$

なんと $t$ の1次式である。1次式のグラフは線分だ。だから、区間 $[0,1]$ 全体で負になる条件は「両端 $t=0,1$ で負」のたった2本に潰れる。係数 $x-1$ の符号で場合分けする必要すらない。

あとは2つの2次不等式の共通部分を取るだけ。仕上げに端点どうしの大小($\sqrt{2}$ と $\frac{-1+\sqrt{13}}{2}$)を比べて完答だ。

① 両端の条件に潰す。 $g(t)$ は $t$ の1次式(定数の場合も含む)。だから $0\le t\le 1$ 全体で $g(t)<0$ ⟺ $g(0)<0$ かつ $g(1)<0$:

$$g(0)=x^2-2<0,g(1)=x^2+x-3<0$$

② それぞれ解く。

$$x^2<2⟺-\sqrt{2}<x<\sqrt{2}$$

$$x^2+x-3<0⟺\frac{-1-\sqrt{13}}{2}<x<\frac{-1+\sqrt{13}}{2}$$

③ 共通部分をとる(端点の比較)。 左端は $-\sqrt{2}\approx -1.41$ と $\frac{-1-\sqrt{13}}{2}\approx -2.30$ の比較。大きい(内側にある)のは $-\sqrt{2}$ だ。

右端は $\sqrt{2}$ と $\frac{-1+\sqrt{13}}{2}$ の比較。$2\sqrt{2}+1$ と $\sqrt{13}$ を2乗して比べると、$\sqrt{2}>1$ だから $9+4\sqrt{2}>13$。よって $\frac{-1+\sqrt{13}}{2}<\sqrt{2}$ で、こちらが内側。以上より

$$-\sqrt{2}<x<\frac{-1+\sqrt{13}}{2}$$

まとめ: 「すべての $t$」型は、$t$ を主役にした瞬間に次数が下がる。そして端点だけの条件に潰れる。主役の交代はパラメータ問題の第一の武器だ。仕上げの根号の大小比較(2乗して比べる)まで含めて、数Iの道具の総動員になっている。

別解

線分の絵で「両端だけでよい」を見る(直感ルート)。 $x$ を1つ止めるごとに、$z=g(t)=(x-1)t+(x^2-2)$ のグラフは $t$-$z$ 平面の線分になる($0\le t\le 1$)。

まっすぐな線分が、区間全体で軸より下にある。それは「両端が下にある」ことと同じだ。まっすぐだから、途中だけひょっこり上に出ることはできない。

たとえば $x=1$ なら $g(t)=-1$(定数)。線分は高さ $-1$ の水平線で、ずっと負。条件成立だ。

$x=1.35$ だとどうか。$g(0)=-0.1775<0$ だが、$g(1)=0.1725>0$。線分の右端が軸の上に出てしまい、$t$ が1に近いところで不等式が破れる。

「すべての $t$ で成立」とは、この線分を軸の下に閉じ込めること。そう目で理解できる。