解の2乗を解とする方程式を作る

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 新しい方程式を作るのに、${\alpha }^2,{\beta }^2$ の値そのものは要らない。和と積さえ分かれば $x^2-(\text{和})x+(\text{積})=0$ と書けるからだ。

和 ${\alpha }^2+{\beta }^2$ は基本対称式で $(\alpha +\beta {)}^2-2\alpha \beta =9-2=7$。

積 ${\alpha }^2{\beta }^2$ は $(\alpha \beta {)}^2=1$。よって $x^2-7x+1=0$ — 対称式の計算だけで完成する。

① 元の解と係数。 $\alpha +\beta =3,\alpha \beta =1$。

② 新しい和と積。 $${\alpha }^2+{\beta }^2=(\alpha +\beta {)}^2-2\alpha \beta =3^2-2\cdot 1=7,{\alpha }^2{\beta }^2=(\alpha \beta {)}^2=1^2=1.$$ ③ 方程式を作る。 ${\alpha }^2,{\beta }^2$ を解とする方程式は $$x^2-7x+1=0.$$

まとめ ${\alpha }^2,{\beta }^2$ の和 $7$・積 $1$ を対称式で出し、$x^2-7x+1=0$。解と係数(和と積から方程式)と対称式の融合。

発展 — 一歩先へ。 変数変換 $x\mapsto x^2$ は、方程式の言葉では「$t^2-7t+1=0$ は $x^4-7x^2+1=0$ の偶数次部分」— 実際 $x^4-7x^2+1=(x^2-3x+1)(x^2+3x+1)$ と、元の方程式とその「符号違い」の積に割れる。解の変換($\frac{1}{\alpha }$: 係数の反転、$-\alpha$: 交代符号、${\alpha }^2$: 本問)と係数操作の対応表は、方程式の対称性(ガロアの入り口)を垣間見せてくれる。

別解

方程式の変数を取り替える(解を1つも計算しない変換)。 $t=x^2$ という変数変換で、元の方程式を $t$ の方程式に書き替えてしまう。

$x$ が $x^2-3x+1=0$ を満たすとき、$x^2=3x-1$ だから $t=3x-1$、逆に解いて $x=\frac{t+1}{3}$。これを元の方程式に代入:

$${\left(\frac{t+1}{3}\right)}^2-3\cdot \frac{t+1}{3}+1=0$$

$9$ 倍して整理すると $(t+1{)}^2-9(t+1)+9=0$、すなわち

$$t^2-7t+1=0$$

対称式(本解)は「和と積」を運ぶ王道、変数変換は「解の関係 $t=x^2$ を方程式の関係に翻訳する」高速道路。$\frac{1}{\alpha },\alpha +1,2\alpha$ を解にもつ方程式も、それぞれ $x=\frac{1}{t},x=t-1,x=\frac{t}{2}$ の代入で量産できる — 変換の万能性が魅力だ。